线线角-线面角-二面角的讲义汇总

1B1D1ADC1BCA1线线角与线面角一、课前预习1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F分别为AB、CD的中点且EF=3，AD、BC所成的角为.2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()(A).46(B).36(C).62(D).633.平面与直线a所成的角为3,则直线a与平面内所有直线所成的角的取值范围是．4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为(A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο,∠C=90ο,BC是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值是．二、典型例题例1.(96·全国)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平ACBDABPCDACBFE2面图形.作法有:①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】例2.如图在正方体AC1中,(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角;(2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线.作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.例3.已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=a2.(1)若D为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：EF⊥FC1;(2)试问:若AB=a2,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角,为什么?证明你的结论.备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,从而判断命题是否成立.一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜ADC1D1A1B1CBA1CBAB1DC1EF3线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面A1BD．(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．解：(1)连AC，∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．(2)设正方体的棱长为a，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，4∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在RtMEB中，1322ACMEa，222626BEaaa，∴2tan2MEMBEBE．例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．（1）求证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值．证明（1）由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．（2）解法1取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．设1BC，则32CE，12DE，132cos332DECEDCE．例3．如图所示，在正三棱柱111ABCABC中，1EBB，截面1AEC侧面1AC．(1)求证：1BEEB；(2)若111AAAB，求平面1AEC与平面111ABC所成二面角(锐角)的度数．证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，如图，5∵面A1EC⊥面AC1，∴EG⊥侧面AC1．取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．∵面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1，得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．∵BE∥侧面AC1，∴BE∥FG，四边形BEGF是，BE＝FG．∴BE∥AA1，∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC．解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结A1D．∵∠B1A1C1＝∠B1C1A1＝60°，∴∠DA1C1＝∠DA1B1＋∠B1A1C1＝90°，即DA1⊥A1C1．∵CC1⊥面A1C1B1，由三垂线定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．且∠A1C1C＝90°．∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1，∴∠CA1C1＝45°，即所求二面角为45°．说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．三、作业：61．已知平面的一条斜线a与平面成角，直线b，且a,b异面，则a与b所成的角为（A）A．有最小值，有最大值2B．无最小值，有最大值2。C．有最小值，无最大值D．有最小值，有最大值。2．下列命题中正确的是（D）A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（A）A．30B．20C．15D．124．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（C）A．30°B．45°C．60°D．90°5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan22，则它的侧棱与底面所成的角为26．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.77．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值．解过A，E分别作AH⊥面BCD，EO⊥面BCD，H，O为垂足，∴AH2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，∠ECO即为所求．∵AB=AC=AD，∴HB=HC=HD∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心，连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点，22333323DHDFaa，在Rt△ADH中，8．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB．求证：（1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF．证明如图1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD（三垂线定理）．8∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF．（2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD面BCD．∴面AEF⊥面BCD．（3）由EF⊥CD，AE⊥CD∴AEF为二面角B-DC-A的平面又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D∴AF⊥平面DBC，二面角题目：如图所示，已知PA面ABC，,PBCABCSSSS，二面角PBCA的平面角为，求证：cosSS2．如图，在空间四边形ABCD中，BCD是正三角形，ABD是等腰直角三角形，且90BAD，又二面角ABDC为直二面角，求二面角ACDB的大小。DCBPADCFHBAE9ED'B'C'A'ODACB例3．设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，1,2ACBCCD，求（1）AC与平面BCD所成角的大小；（2）二面角ABCD的大小；（3）异面直线AB和CD所成角的大小。例4.在正方体ABCDABCD中，M为AA的中点，求截面DMB与底面ABCD所成较小的二面角的大小。选用：如图，正方体的棱长为1，'BCBCO，求：（1）AO与AC所成角；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）平面AOB与平面AOC所成角奎屯王新敞新疆解：（1）∵//ACAC∴AO与AC所成角就是OAC∵,OCOBAB平面BC∴OCOA（三垂线定理）在RtAOC中，2,22OCAC∴30OAC（2）作OEBC，平面BC平面ABCD∴OE平面ABCD，OAE为OA与平面ABCD所成角在RtOAE中，22115,1()222OEAE∴5tan5OEOAEAE10（3）∵,OCOAOCOB∴OC平面AOB又∵OC平面AOC∴平面AOB平面AOC即平面AOB与平面AOC所成角为90奎屯王新敞新疆二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。jABCDPHPOBA11二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。例、(2003北京春)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小pABCDLHCDPMBAABCDA1B1C1D1EO12例、(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小.三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P到二面角l的面、及棱l的距离分别为4、3、3392，求二面角l的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；PlCBA图4B1AA1BLEF13例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a