大一微积分下册经典题目及解析

微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若yxxyyxyxftan),(22，则___________),(tytxf（2）若xyyxyxf2),(22，则(2,3)________,(1,)________yffx（3）若)0()(22yyyxxyf，则__________)(xf（4）若22),(yxxyyxf，则____________),(yxf（5）函数)1ln(4222yxyxz的定义域是_______________（6）函数yxz的定义域是_______________(7)函数xyzarcsin的定义域是________________（8）函数xyxyz2222的间断点是_______________2.求下列极限：（1）xyxyyx42lim00(2)xxyyxsinlim00(3)22222200)()cos(1limyxyxyxyx3.证明0lim22)0,0(),(yxxyyx4.证明：极限0lim242)0,0(),(yxyxyx不存在5.函数(0,0)),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyxf在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设yxztanln，则__________________,yzxz;（2）设)(yxezxy，则__________________,yzxz;（3）设zyxu，则________,__________________,zuyuxu;（4）设xyaxcztan，则_________________,_________,22222yxzyzxz（5）设zyxu)(，则________2yxu;（6）设),(yxf在点),(ba处的偏导数存在，则_________),(),(lim0xbxafbxafx2.求下列函数的偏导数yxyz)1()1(zyxu)arcsin()2(3.设xyz，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设)ln(xyxz，求yxz23和23yxz5.)11(yxez，试化简yzyxzx226.试证函数)0,0(),(,0)0,0(),(,3),(22yxyxyxxyyxf在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.习题8-3全微分及其应用1.X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QYPYQxPx41600;51000公司X、Y现在的销售量分别是100个单位和250个单位。（1）X和Y当前的价格弹性是多少？（2）假定Y降价后，使QY增加到300个单位，同时导致X的销量Qx下降到75个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？(利用弧交叉弹性公式：)/12121212PyPyPyPyQxQxQxQxErx2.假设市场由A、B两个人组成，他们对商品X的需求函数分别为：PxIKDPxIKDBBBAAA/;/)(Pr（1）商品X的市场需求函数；（2）计算对商品X的市场需求价格弹性；若Y是另外一种商品，Pr是其价格，求商品X对Y的需求交叉弹性3.求下列函数的全微分（1）tstsu（2）设zyxzyxf1)(),,(，求)1,1,1(df（3）)1ln(22yxz，求当2.0,1.0,2,1yxyx的全增量z和全微分dz4.计算33)97.1()02.1(的近似值习题8-4多元复合函数的求导法则1.填空题（1）设vuzln2而yxvyxu23,，则____________________,yzxz（2）设)sin(yxarz而tx3，则_________dtdz（3）设1)(2azyeuax,而xzxaycos,sin，则________dxdu（4）设)arctan(xyz,而xey，则________dxdz（5）设),(22xyeyxfu，则___________________,yuxu（6）),,(xyzxyxfu，则________xu（1）12nnn2.设fyxyfxyfxz),()(1具有二阶连续导数，求yxz23.设fyxxfz),,(具有二阶连续偏导数，求22xz4.设fxyxxfz),,2(2，具有二阶连续偏导数，求yxz2.5.设feyxfzyx),,cos,(sin，具有二阶连续偏导数，求22xz7.设f与g有二阶连续导数，且)()(atxgatxfz，证明：22222zzatx习题8-5隐函数的求导公式1.填空题：（1）设22lnarctanyxyx，则________dxdy（2）设022xyzzyx，则______________,yzxz（3）设yzzxln，则___________________,yzxz（4）设zxyz，则_________________,yzxz2.设xyzez，求yxz23.设333axyzz，求yxz24.设zyxzyx32)32sin(2，求yzxz5.设203222222zyxyxz，求dxdzdxdy,6.设),(txfy，而t是由方程0),,(tyxF所确定的yx,的函数，求dxdy7.设由方程0),(xzyyzxF确定),(yxzz，F具有一阶连续偏导数，证明：xyzyzyxzx8.设),(),,(),,(yxzxzyyzyxx，都是由方程0),,(zyxF所确定的有连续偏导数的函数，证明：1xzzyyx习题8-6多元函数的极值及其应用1.填空题：（1）gyxxyyxz4222z驻点为_____________（2）22)(4),(yxyxyxf的极_____值为_______________（3）)2(),(22yyxeyxfx的极______值为_________________（4）xyz在适合附加条件1yx下的极大值为____________________（5）22),(yxxyxfu在1,22yxyxD上的最大值为______________，最小值为______________2.从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.班级：姓名：学号：3.旋转抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与最短距离微积分练习册[第八章]多元函数微分学4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为)0(,)24(,)3(yyxxyx，求使产鱼总量最大的放养数班级：姓名：学号：5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q为产出量：若生产函数为212xxQ，其中,为正常数，且1，假设两种要素的价格分别为1p和2p，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？微积分练习册[第九章]二重积分习题9-1二重积分的概念与性质1.填空题（1）当函数),(yxf在闭区域D上_________时，则其在D上的二重积分必定存在（2）二重积分Ddyxf),(的几何意义是_____________________________________（3）若),(yxf在有界闭区域D上可积，且21DDD，当0),(yxf时，则21),(_____________),(DDdyxfdyxf；当0),(yxf时，则21),(_____________),(DDdyxfdyxf（4）______________)sin(22Ddyx，其中是圆域2224yx的面积，16（注：填比较大小符号）2.比较下列积分的大小：(1)DdyxI21)(与DdyxI32)(其中积分区域D是由x轴，y轴与直线1yx所围成(2)1ln()DIxyd与22ln()DIxyd，其中10,53),(yxyxD3.估计下列积分的值（1）(1)DIxyxyd，其中20,10),(yxyxD（2）22(49)DIxyd，其中4),(22yxyxD4．求二重积分222211xyxyd5.利用二重积分定义证明(,)(,)DDkfxydkfxyd（其中为k常数）习题9-2利用直角坐标计算二重积分1.填空题（1）323(3)______________Dxxyyd其中10,10yxD：(2)cos()___________Dxxyd其中D：顶点分别为),(),0,(),0,0(（的三角形闭区域(3)将二重积分(,)Dfxyd，其中D是由x轴及上半圆周)0(222yryx所围成的闭区域，化为先y后x的积分，应为__________________________________（4）将二重积分(,)Dfxyd，其中D是由直线2,xxy及双曲线)0(1xxy所围成的闭区域，化为先x后y的积分，应为_________________________________（5）将二次积分dyyxfdxxxx22221),(改换积分次序，应为______________________（6）将二次积分dyyxfdxxsin2xsin-0),(改换积分次序，应用______________________（7）将二次积分2212122-lny1(1)(,)(,)eydyfxydxdyfxydx改换积分次序，应为______________________（8）将二次积分dxyxfdydxyxfdyyy31302010),(),(，改换积分次序，应为_____________________2.计算下列二重积分：(1)22xyDxyed,其中dycbxayxD,),((2)22()Dxyd,其中D是由直线xyy,2，及xy2所围成的闭区域.(3)Ddxdyxy2,其中20,11yxD：3.计算二次积分110yxydyedx4.交换积分次序，证明：axamadxxfexadxxf0)(0y0x)-m(a)()()(edy5.求由曲面222yxz及2226yxz所围成的立体的体积.习题9-3利用极坐标计算二重积分1.填空题（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分①xyxdxdyxyyxf22222_________________)arctan,(;②DyxdxdyexyyxyxD____________,,41),(2222（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分①2222200()____________,(0)aaxxdxfxydya②112200()________________;dxfxydy③230(arctan)________________;xxydxfdyx④2100(,)________________.xdxfxydy2.计算下列二重积分(1)22ln(1)Dxyd,其中D是由圆周122yx及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.(2)