激光原理例题

例1由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜曲率半径为2米，凹面镜曲率半径为3米，腔长L为1米，腔内介质折射率为1，此球面镜腔是何种腔（稳定腔、临界腔、非稳腔）？。当腔内插入一块长为0.5米，折射率2h=的其它透明介质时（介质两端面垂直于腔轴线），此时谐振腔为何种腔（稳定腔、非稳腔、临界腔）？解：设凸面镜与凹面镜曲率半径分别为R1和R2，当腔内未插入其它透明介质时12111111123LLRR⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞--=--=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟-⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠即121gg=，该腔为临界腔。当腔内插入其它介质时，设该介质的长度为l，该介质左右两边剩余的腔内长度分别为1l和2l，则12lllL++=。设此时的等效腔长为'L，则212111'11011010101001010101lllLlllhhh⎡⎤++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦()120.5m3'0.5mm24llLllLlhh=++=-+=+=1212''343433111112332LLggRR⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=--=--=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟-⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠此时腔为非稳腔。例2如图所示谐振腔：(1)画出其等效透镜序列。如果光线从薄透镜右侧开始，反时针传播，标出光线的一个往返传输周期；(2)求当/dF（F是透镜焦距）满足什么条件时，谐振腔为稳定腔；Fddd/2d/2(3)指出光腰位置（不用计算）。解：(1)该谐振腔的等效透镜序列如图2.5所示。图2.5(2)列出光在该谐振腔中传输一个周期的变换矩阵1013131/1011/3/1ABddTCDFFdF⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦由稳定性条件可得3113111222dADdFF-++==-由上式可得谐振腔稳定时，应满足403dF(3)此腔可等效为对称球面镜腔，其光腰应位于该等效腔的中心，因此光腰位置在上方平面镜表面处。例3、在平行平面镜腔中插入一个焦距为f的薄透镜，其位置如下图中所示（1）画出其等效透镜序列；（2）如果光线从平面镜R1右侧开始，向右传播，在等效透镜序列图上标出光线一个往返传输周期；（3）求出第2问中所画的往返传输周期的光线传输矩阵；（4）d1、d2、f满足什么关系时，此谐振腔为稳定腔？（5）求基模运转时，镜面M1和M2上的光斑半径的表达式。d1d2fR1=∞R2=∞8解题提示：画出腔的等效透镜波导，标出一个等效透镜周期，求出其ABCD矩阵，根据稳定腔条件求出1/dF和2/dF应满足的不等式条件；根据腔内高斯光束自再现条件()()2M1//2i14/qDABDAB=-±-+分别算出M1和M2处q参数，进而求得镜面上光斑半径。答案：(1)120111ddFF⎛⎞⎛⎞--⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠：(2)1212011221π1dddFwFdddFFl⎛⎞-⎜⎟⎝⎠=+-⎛⎞-⎜⎟⎝⎠，2212021211π1dddFwFdddFFl⎛⎞-⎜⎟⎝⎠=+-⎛⎞-⎜⎟⎝⎠例4、如图所示激光谐振腔，腔内高斯光束束腰位置如图所示，基模腰斑半径分别为w01和w02，反射镜M1和M2的反射率分别为99.5%和88%，薄透镜的散射损耗为1%。已知此谐振腔为稳定腔。求：（1）高斯光束在球面反射镜M2处等相位面的曲率半径？（2）腔内光子寿命Rt？（3）写出TEMmnq模频率的表达式形式（方形镜）。解题提示：(1)因为腔内球面反射镜实现对高斯光束的自再现反射，所以反射镜面与高斯光束波面重合；(2)腔的单程损耗因子2121Trrd≈-；(3)根据腔内单程相移πmnqqf=，有()()()()()1231122321arctan/arctan/arctan/πkdddmndfdfdfq++-++++=⎡⎤⎣⎦，以2π/mnqkcn=代入,可得到mnqn表达式。答案：(1)100cm；(2)47.01ns；(3)()3121231221arctanarctanarctan2πmnqdddcmnqdddfffn⎡⎤⎛⎞++=+++⎢⎥⎜⎟++⎝⎠⎣⎦例5、如下图所示，假设一高斯光束垂直入射到折射率为η，长度为l的介质块上，若以光腰处为坐标原点，介质两端面A和B离光腰的距离分别为l1和l2，已知光腰半径为w0，在空气中波长为λ。试问：（1）在下图情况下，远场发散角为多大？由计算结果可得出什么结论？（2）若将介质块的位置左移，使介质A端面移至z=-l处。若介质块足够长，使光腰落在介质内部，求此时光腰的大小及位置。w0ηABz=0z=l1z=l2例6、如图所示平－凹谐振腔，腔长()23/4dR=，10.99r=，20.97r=（1r、2r分别为两反射镜的反射率）。如果球面镜曲率半径是2.0m，波长为5000Å，求：(a)腔的自由光谱区，分别用单位MHz和Å表示；(b)腔的Q值；(c)腔内光子寿命（用ns为单位表示）；(d)腔的精细度。2R1Rd解题提示：单程损耗因子121rrd≈-。'RLctd=，2RLQchwtpnd==，12Qww=Δ，12FnnΔ=Δ(a)100MHz、8.3×10-4Å，(b)9.496×108，(c)251.9ns，(d)158.2例6-1图为激光通过F-P腔的透过谱，试求：(1)激光波长l；(2)F-P腔腔长L；(3)F-P腔的精细度F；图2.6Hz14510×2.5MHz125MHzn(4)F-P腔腔内光子寿命Rt；(5)如果F-P腔内充满增益系数为g的介质，为了得到自激振荡，g应为多少？例7、圆形镜对称共焦腔TEM00模和TEM01模在镜面处通过半径0aw=的圆孔光阑后，所损失的能量百分比各为多少？解：共焦腔TEM00模镜面处光强分布：()()2202222002002*2220000000000e,,ee2222sssrwrrwwCErCEEIrjjhhhh---⋅====∝式中0h为自由空间波阻抗，()12000377hme==Ω共焦腔TEM01模镜面处光强分布：()()()220220220122222200101012000022201012e,21e2221e1e2ssrwrswsXXrCwErCrIwCXXjhhhh----⎛⎞-⎜⎟⎝⎠⎛⎞===-=⎜⎟⎝⎠-∝-式中220s2/Xrw=TEM00模的功率损耗：()()22000220220022200002π,d2πd'10.135e2π,d2πdssr∞∞-∞∞-====∫∫∫∫TEM01模功率损耗：()()()()()()0022012201002202222002π,d2π1ed'2π,d2π1ed2π1ed450.676e2π1ed4XwwXXsXsErrrXrrPPErrrXrrwXXwXXjj∞∞-∞∞-∞-∞--===--==-∫∫∫∫∫∫例8、如图所示，波长为l=1.06μm的钕玻璃激光器，全反射镜的曲率半径R=1m，距离全反射镜a=0.44m处放置长为b=0.1m的钕玻璃棒，其折射率为h=1.7。棒的右端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。(1)判别腔的稳定性；(2)求输出端光斑大小；(3)若输出端刚好位于焦距F=0.1m的薄透镜焦平面上，求经透镜聚焦后的光腰大小和位置。解：(1)根据例题2.1，等效腔长0.1'0.44mm0.4988m0.5m1.7bLah=+=+=≈可以看出'L与介质在谐振腔中的位置无关。（注意，作这样的腔长等效时，应保证'L的起始和结束端都在同一媒质中）由以上等效腔长可得1212''0.50.511110.51LLggRR⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=--=--=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟∞⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠1201gg∴1mR=abFn该腔为稳定腔（半共焦腔）。(2)画出谐振腔的等效透镜波导，并以右侧端面为起始/终结点标出一个往返周期图2.9此往返传输周期的光线矩阵为11101'1'10.5m1010.5m00.5m20101012m1012m01LLTR--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为稳定腔内的高斯光束自再现,故有2outoutoutout0.5m2AqBqCqDq+==+-out1im2q=±输出端高斯光束的q参数实部为0，所以相应波面曲率半径为∞，20outπiiwqfl==（注意此处波长l采用的是大气中的波长，是因为光线往返矩阵起始/终结点定位在介质右侧表面空气中。）比较以上二式可得20π1m2wl=62301.0610mm0.4110m=0.41mm2π2πwl--×===×(3)根据式（2.83），会聚后的光斑半径0'w满足()()223222200222200.10.4110'm1π2F××==⎛⎞⎛⎞-+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠30'0.08210m=82μmw-=×例9、两只氦氖激光器的结构如图所示。问：在什么位置？插入一个焦距为多大的薄透镜才能实现两个腔之间的模匹配？11mR=2R=∞2'R=∞1'50cmR=30cmL='25cmL=50cmd=解：由图中数据可知左右两谐振腔都是稳定腔。设左右谐振腔产生的高斯光束共焦参数分别为f和'f，可得2121''''fRLLfRLL=+=+()()()()110.310.3m0.458m''''0.250.50.25m0.25mfLRLfLRL=-=-==-=-=分别求左腔平面镜处以及右腔平面镜处的高斯光束q参数2q和2'q。22ii0.458m'i'i0.25mqfqf====设两腔间插入焦距为F的薄透镜，若该透镜与左腔平面镜的距离为l，则距离右腔平面镜为''0.5m0.25m0.75mldLlll=+-=+-=-在薄透镜左侧表面，高斯光束的q参数2iqqlfl=+=+2211iilfqfllf-==++在薄透镜右侧表面，高斯光束的q参数2'''i''qqlfl=-=-2211'i''i''''lfqfllf--==-+因为薄透镜两侧表面上的光斑半径相同，因而{}{}'Im1/Im1/qq=2222'''fflflf=++将'0.75mll=-代入，求得0.39ml=或2.9ml=（不符合要求，此解略去）'0.75m0.36mll=-=左右两侧球面波的透镜变换规则为111'RRF=-式中，R为薄透镜左侧的高斯光束波面曲率半径，'R为薄透镜右侧的高斯光束波面曲率半径11Re11Re''RqRq⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎧⎫=⎨⎬⎩⎭有2222'1''lllflfF-=-++111222222221'0.390.36mm2.952m''0.390.4580.360.25llFlflf---=+=+=++++0.34mF=所以，在左腔平面镜右侧0.39m处共轴放置一焦距为0.34m的薄透镜，可实现两个腔之间的模匹配。10、设图所示虚共焦非稳定腔的腔长0.25mL=，凸球面镜2M的直径和曲率半径分别为223cma=和21mR=-，若保持镜2M尺寸不变，并从镜2M单端输出，试问：凹面镜1M尺寸应选择多大？此时腔的往返一周的损耗是多大？M1M2公共焦点1F2F解：为了保证从2M镜单端输出，可以求得1M镜的最小直径12a应满足112220.250.520.5FaaF+==式中1F，2F分别为1M，2M镜焦距123224.5cm2aa∴==设'1a为由M1镜反射的波面线度1a的光波到达M2镜的线度，'2a为由M2镜反射的波面线度为2a的光波到达M1镜的线度，则M1和M2镜的单程放大率分别为'1111ama=='1222232FamaF===此虚共焦腔往返一周的放大率1232Mmm==往返一周的损耗215155.6%9Mx=-==往返