激光原理第二章习题解答

《激光原理》习题解答第二章习题解答1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。设两个凹镜的曲率半径分别是1R和2R，腔长为L，根据对称共焦腔特点可知：LRRR21因此，一次往返转换矩阵为211121222121221221221RLRLRLRLRRRLLRLDCBAT把条件LRRR21带入到转换矩阵T，得到：1001DCBAT共轴球面腔的稳定判别式子1211DA如果121DA或者121DA，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。经过两个往返的转换矩阵式2T，10012T坐标转换公式为：1111112221001rrrTr其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。2试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。解答如下：共轴球面腔的21221222121RRLRLRLDA，如果满足1211DA，则腔是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。对于平凹共轴球面腔，22122121222121RLRRLRLRLDA(1R)所以，如果12112RL，则是稳定腔。因为L和2R均大于零，所以不等式的后半部分一定成立，因此，只要满足12RL，就能满足稳定腔的条件，因此，12RL就是平凹腔的稳定条件。类似的分析可以知道，凸凹腔的稳定条件是：LRR210,且LRR21。双凹腔的稳定条件是：LR1，LR2（第一种情况）LR1，LR2且LRR21（第二种情况）221LRRR（对称双凹腔）求解完毕。3激光腔的谐振腔由一曲率半径为1M的凸和曲率半径为2M的凹面镜构成，工作物质长度为0.5M，其折射率为1.52，求腔长1L在什么范围内谐振腔是稳定的。解答如下：设腔长为1L，腔的光学长度为L，已知IMR1，MR22，ML5.00，11，52.12，根据21221222121RRLRLRLDA，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：2212122212121LLMMLMLMLDA因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。即52.15.015.0120101LLLLL，代入上式，得到：211252.15.015.052.15.015.01121LLLLDA要达到稳定腔的条件，必须是1211DA，按照这个条件，得到腔的几何长度为：17.217.11L，单位是米。解答完毕。5有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30CM，方形孔径边长为d=2a=0.12CM，λ=632.8nm，镜的反射率为r1=1，r2=0.96，其他损耗以每程0.003估计。此激光器能否做单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔光阑来选择TEM00模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一大略的估计。氦氖激光器增益由公式dlelg410310估算，其中的l是放电管长度。分析：如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的增益系数，增益大于损耗，则可产生激光振荡。如果其他损耗不包括衍射损耗，并且菲涅尔数小于一，则还要考虑衍射损耗，衍射损耗的大小可以根据书中的公式δ00=10.9*10-4.94N来确定，其中的N是菲涅尔数。解答：根据dlelg410310，可以知道单程增益g0L=ln(1+0.0003L/d)=0.0723由于反射不完全引起的损耗可以用公式2.1.24或者2.1.25来衡量根据2.1.24得到：δr≈-0.5lnr1r2=0.0204根据题意，总的损耗为反射损+其他损耗，因此单程总损耗系数为δ=0.0204+0.0003g0L如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数：此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为：N=a2/(Lλ)=7.6，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射损耗的影响。通过以上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。又根据氦氖激光器的多普勒展宽达到1.6GHZ，而纵模及横模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此不采取技术措施不可能得到基模振荡。为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。在腔镜上，基模光斑半径为：cmLos21046.2因此，可以在镜面上放置边长为2ω0s的光阑。解答完毕。6试求出方形镜共焦腔面上30TEM模的节线位置，这些节线是等距分布吗？解答如下：方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为'''''',,dydxeyxeLiyxaaaaLyyxxikmnikLmnmn经过博伊德—戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数LyxcnmmnmneyLHxLHCyx2222,LyxLyxexLxLCeyLHxLHCyx22222122822,330033030使0,30yx就可以求出节线的位置。由上式得到：lxx223,03,21，这些节线是等距的。解答完毕。7求圆形镜共焦腔20TEM和02TEM模在镜面上光斑的节线位置。解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式mmerLrCrsrsnmmsmnmnsincos22,2022020（这个场对应于mnTEM，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零）对于20TEM：2sin2cos22,20220220202020srsserLrCr并且1220220srL，代入上式，得到2sin2cos2,202202020srserCr，我们取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取02cos2,202202020srserCr，就能求出镜面上节线的位置。既43,402cos21对于02TEM，可以做类似的分析。202202202020220202000202222,ssrsrsserLCerLrCr404202202022412sssrrrL，代入上式并使光波场为零，得到02412,202404202000202srssserrrCr显然，只要0241240420220202sssrrrL即满足上式最后镜面上节线圆的半径分别为：ssrr0201221,221解答完毕。8今有一球面腔，两个曲率半径分别是R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。解：共轴球面腔稳定判别的公式是1211DA，这个公式具有普适性（教材36页中间文字部分），对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式1021gg判断稳定性，其中iiRLg1。题中1581111RLg，1081122RLg093.021gg，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔，他们的行波场是相同的。等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标1Z和2Z，再加上它的共焦腔的镜面焦距F，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。根据公式（激光原理p66-2.8.4）得到：MRLRLLRLZ18.018.05.18.08.018.02121MRLRLLRLZ62.018.05.18.08.05.18.02112235.018.05.18.08.015.18.05.18.018.0222121122RLRLLRRLRLRLF因此MF485.0等价共焦腔示意图略。9某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM，R=2M，2a=1CM，波长λ=10.6μm，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。根据公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到：MggggLggggss664/121124/12112011022.2316.110687.111MggggLggggss664/121214/121210210997.8333.510687.111其中第一个腰斑半径对应平面镜。上式中LS0是这个平凹腔的等价共焦腔镜面上的腰斑半径，并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知：MS193.1414.1687.1200作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。即：N1根据公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数62642121110615.11022.21416.31025.0sefaN42642121110831.910997.81416.31025.0sefaN根据衍射损耗定义，可以分别求出：711102.61efN，5221002.11efN解答完毕。10证明在所有菲涅尔数LaN2相同而曲率半径R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。这里L表示腔长，a是镜面的半径。证明：在对称共焦腔中，222212121RRfRRLRR11今有一平面镜和一个曲率半径为R=1M的凹面镜，问：应该如何构成一个平—凹稳定腔以获得最小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。解答：我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据公式2.6.14得到：f20，如果平面镜和凹面