参数方程的概念

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资源描述

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?提示:即求飞行员在离救援点的水平距离多远时,开始投放物资??救援点投放点情境引入xy500o0,y令10.10.ts得100,1010.xtxm代入得.1010所m以,飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资,可以使其准确落在指定位置txy解:物资出舱后,设在时刻,水平位移为,垂直高度为,所以2100,1500.2xtygt)2(g=9.8m/s如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?(x,y)情境引入(),().xftygt(*)并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。1.参数方程中,应明确参数t的取值范围,取值范围不同,表示的曲线可能是不相同的。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.参数方程中,x、y必须用相同的参数(值)来表示一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数参数方程的概念注意:下面方程,哪些是参数方程?)(tsinytcosx5)(ttsinytcosx4)(0)12(13y2x3)(sin3cosx)2(042x)1(2为参数为确定的锐角,)(为参数为确定的正数,)(为参数)(为参数tyxyy参数方程的辨析例1已知曲线C的参数方程是(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;(2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。23,()21.xttyt为参数点拨(1)将点的坐标代入方程组,若有解,则点在曲线上,否则不在曲线上;(2)将点的横坐标代入求得t,进而求a参数方程概念的应用已知曲线C的参数方程是点M(5,4)在该曲线上.(1)求常数a;(2)求曲线C的普通方程.212,().xttyat为参数,aR变式训练1、曲线与x轴的交点坐标是()A、(1,4)B、C、D、21,(43xttyt为参数)25(,0);16(1,3);25(,0);16B)0,1(),21,21()21,31()7,2()(2cossin{2DCBAyx、,、、的一个点的坐标是表示的曲线上为参数、方程()C巩固训练例2如图,△ABP是等腰直角三角形,∠B是直角,腰长为a,顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动,求点P在第一象限的轨迹的参数方程.[精讲详析]本题考查曲线参数方程的求法,解答本题需要先确定参数,然后分别用同一个参数表示x和y.参数方程的应用法一:设P点的坐标为(x,y),过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示,则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB=t,t为参数(0<t<a).∵|OA|=a2-t2,∴|BQ|=a2-t2.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为x=t+a2-t2y=t,(0<t<a)法二:设点P的坐标为(x,y),过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,如图所示.取∠QBP=θ,θ为参数(0<θ<π2),则∠ABO=π2-θ.在Rt△OAB中,|OB|=acos(π2-θ)=asinθ.在Rt△QBP中,|BQ|=acosθ,|PQ|=asinθ.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为x=asinθ+cosθ,y=asinθ.(θ为参数,0<θ<π2).(1)建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y),(2)确定适当的参数;(3)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的关系式;(4)求出参数的取值范围并标注出来.求参数方程的步骤[通一类]2.如图所示,OA是圆C的直径,且OA=2a,射线OB与圆交于Q点,和经过A点的切线交于B点,作PQ⊥OA交OA于D,PB∥OA,试求点P的轨迹的参数方程.解:设P(x,y)是轨迹上任意一点,取∠DOQ=θ,由PQ⊥OA,PB∥OA,得x=OD=OQcosθ=OAcos2θ=2acos2θ,y=AB=OAtanθ=2atanθ.所以P点轨迹的参数方程为x=2acos2θy=2atanθ,θ∈(-π2,π2).一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数(),().xftygt(2)并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。小结

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