线代复习题

线性代数复习题一判断对错1.若行列式D等于零，则或D有一行为零，或有两行对应成比例。错，反例：420101321A2.若向量组s,,21线性无关t,,21也线性无关，则合起来s,,21，t,,21也线性无关。错，反例：任单独一个非零向量1线性无关，令112，则1也线性无关，但合起来1，1也线性无关。3．判断下面哪些成立。（1）当0AB时推出0A或0B。（2）当,0ABACA时，一定有.BC（3）当,||0ABACA时，一定有.BC（4）当||0AB时推出||0A或||0B正确解法：由于矩阵乘法不满足消去律，（1）（2）不成立，（3）（4）成立。4．若存在全为0的数skkk,,21使得,02211sskkk则向量组s,,,21线性无关。错，反例：任何一组线性相关的向量组s,,,21也满足上述条件。5．任何一组向量是否线性无关，都可用行列式来判断。错，反例：当向量的个数与维数不相等时，如)4,2,0(),3,2,1(21，无法作成行列式。6．||||||BABA错，而||||||BAAB对反例：10011001BA则210011001，|A+B|=07.若向量的个数大于分量的个数时，向量组必线性无关（错）8．若向量组s,,21与t,,21等价，则它们含向量的个数相等。错，反例：),0,0,0(,,),1,0,1(),3,2,1(3221121与等价，但所含向量个数不等。9任何向量组s,,21与它的极大无关组等价（对）10任何向量组都存在极大无关组（错，全是0的向量组没有极大无关组）11．对于任何线性方程组,若方程的个数小于未知数的个数,则一定有无穷多解.错,这对于非齐次的不成立.例124212321321xxxxxx无解.12.若|A|=0,则A=0.错，反例:A=2211.13.对任何数k,都有||||AkkA.错,分析:当A有n行(），（2n||kA中每一行都有公因子k,行列式提公因子时,必每行提出来一个k,因此n行必提n个k.14.设矩阵A的秩为，r则A中所有r阶子式都不为零.错,分析:矩阵A的秩为r只要求存在一个r阶子式非零,不一定所有，r阶子式都不为零.例:013642321A,A的秩为2,有一个2阶子式非零,但二阶子式04221.应改成：至少有一个r阶子式非零。15.设矩阵A的秩为，r则A中存在1r阶子式非零.对,因为若所有1r阶子式为零,则由定义,A的秩2r.矛盾.16.对于所有n阶矩阵A,B,都有2222BABABA）（错,因为222BABBAABABABA））（（）（,要等式成立只有BAAB17．（1）AB的秩A的秩，对吗？（2）若0),,(321aaaA，0321bbbB，则AB的秩为多少？．分析：AB的秩A的秩，即AB的秩1，但可能为0.18若02A则0A.对吗？分析:不对,如0010A.0,02A19.若矩阵0A,且AYAX则必有YX．分析:不对,因矩阵的乘积没有消去律（cancellationlaw）.20.两个初等矩阵的乘积（product）仍为初等矩阵．分析:不对,如021010020110不是初等矩阵.21.若022EAA，证明：A是可逆矩阵，求出其逆。对，(自己证明)22.若s,,21线性相关，则每一个i都可以由其余的向量线性表示。错，应该是其中至少有一个i都可以由其余的向量线性表示，而不是每一个。反例：），，（），，，（00032121，21,线性相关，1不能由其余的向量表示。23对于任何线性方程组bAX，若方程的个数小于未知数的个数,则一定有无穷多解；（错，对齐次成立）24线性方程组bAX的任意两个解之和还是它的解.（错）25线性方程组bAX的任意两个解之差还是它的解.（错，只对齐次成立）26线性方程组bAX的任意两个解之差为其导出组0AX的解.（对）27若12，为线性方程组bAX的任意两个解，则1212+33也为bAX的解。（对）27若12，为线性方程组0AX的任意两个解，则1212+33也为0AX的解。（对）28.含有零向量的向量组必线性相关，两个向量线性相关不然对应分量成比例。29.属于不同特征值的特征向量线性无关。30.正交矩阵一定可逆，可逆矩阵不一定正交。二．填空：1．矩阵等价的充要条件是——2写出４阶行列式中含2234aa的项=——分析：行指标还有１、４未出现，列指标还有１、３未出现，含2234aa的项应该为11223443aaaa和13223441aaaa．别忘了符号的确定：11122344311223443(1)aaaaaaaa和41322344113223441(1)aaaaaaaa为所求．3.324314512566aaaaaa的符号为----。分析：由元素的行和列下标排列的逆序数：1)1()1(8)234156()341526(所以为正号。提醒：而当行和列都不按自然顺序取时，符号要有行下标的逆序数与列下标的逆序数的和确定，即1122nnpqpqpqaaa的符号为1212()()(1)ttPPPqqq。4．已知方阵A满足OEAA22,则1A——.分析：要找矩阵B使得EAB，只要将原式变形为()AE，将含E的项移到右边，左边提出A，EEAA2)(，即EEAA)](21[,故)(211EAA5．将2ABB写成乘积形式=---分析：BEABAB)2(2。易错成：BABAB)2(2.6.)1,3,1,0(),0,1,2,1(的夹角=——。7.已知abAcd，则*A=--答1121*1222AAdbAAAca8.12231——9.s,,21线性无关，则它的极大无关组=——10.设051033201A，则_||A11.A是3阶行列式，且_|3|,2||AA12.0||nA则_)(Ar13.正交矩阵的行列式=——14.100410012A，则A的特征值=——，||A。15.若),2,2,1(),0,1,1(则_,),(_,||夹角=——。三.计算行列式：计算方法：记住几种特殊的行列式（1）上三角形行列式都等于主对角线上各元素的乘积。即112122112212300000nnnnnnnaaaaaaaaaa1112122211220.00nnnnnnaaaaaaaaa特别，对角线上的元素以外，其他元素全为零（即i≠j时元素0ija）的行列式（称为对角行列式）等于主对角线上元素的乘积。1212;nn（2）1122121.nnnn(3)一个n阶行列式nijDa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn（称nD为反对称行列式），当n为奇数时，则该行列式为零.(4)范德蒙(Vandermonde)行列式1222212111112111(),(2)nnnijnijnnnnxxxDxxxxxnxxx方法1：性质和展开定理结合当零元素“不太多”时，直接展开计算比较麻烦，此时往往先利用行列式的性质先将某一行（列）化成只有一个或2个非零元素，然后再按该行（列）展开。方法2：用初等变换化为上下三角形（行和列初等变换）方法3对于接近上下三角形的行列式（1）三线行列式，即形如012111220000,0,0,1,2,,.00nninnabbbcaDcaainac（2）可化成三线形的下面的行列式的特点：除对角线以外各行元素对应相同1234123412341234xxxxxxaxxxxxaxxxxxa；12111111,0,1,2,,111inaaaina；12,0,1,2,,.inxaxxaxainaxx方法：把各行分别减去第1行可化成箭形行列式，最后再化成三角形行列式求解.（3）将某行或某列可以各列相加化为同一个数k当行列式的每行（列）元素的和均相等时，可以将所有的其他行加到同一行时，该行的元素为同一个数K，此时将该行的公因子提到外面，则该行为同一个数1：例1nabbbbabbDbbabbbba解这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，把第2，3，…，n列都加到第1列上，得1,2,3,,(1)(1)(1)(1)iccninanbbbbabbbanbabbbabbDanbbabbbabanbbbabbba1,2,3,,110001100[(1)]1[(1)]1001100icbcinbbbabbabanbbabanbabbbaab1[(1)]()nanbab例：计算1234214334124321三：讨论齐次线性方程组有非零解问题给定有待定系数的n个方程n个未知数的齐次线性方程组，讨论待定系数为何值，方法：用系数行列式判断：系数行列式0D齐次方程组有非零解。步骤如下：（1）写出系数行列式()Dx；（2）计算出行列式()Dx；（3）将()Dx分解因式，求出根12,,.nccc（4）下结论：当12,,.nxccc时，方程组有非零解,当12()()().nxcxcxc时，方程组只零解。例问为何值时，齐次线性方程组.0)4(2,0)6(2,022)5(3121321xxxxxxx有非零解？解方程组的系数行列式为522260(5)(2)(8)204D若齐次方程组有非零解,则它的系数行列式D=0,从而有=2,=5,=8．四．计算).(Af例：已知051033201A，求EAA532；3542)(xxxf，求).(Af五．解矩阵方程若AXB=C，则它的解为X=A-1CB-1注意逆的左右次序！六七求矩阵的特征值，特征向量xA10100002八．解线性方程组（用基础解系表示），求齐次方程组的基础解系。例解方程组应该注意的结论和问题：1.特征向量不能为零，特征值可以为零。23121311(1)21kkkkkk2、特征值与A的行列式，与A的迹的关系：|A|=n21Atrn214.（1）n阶方阵A可逆.1,0*1AAAA（2）若A非奇异，0，则A亦非奇异，且111)(AA.（3）若A、B非奇异，则AB亦非奇异，且111)(ABAB.5.||||.nnnkAkA如444|3|3||.AA6..逆矩阵：n阶方阵A可逆A行列式不为零，非奇异A满秩A的行（列）向量组线性无关A为初等矩阵乘积A与E等价AX=0只有零解（1）若BA00可逆，则1110000BABA（2）若00BA可逆，0000111ABBA7）00BA||||00BABA八逆矩阵求法：方法1伴随矩阵法：即运用*11AAA,先求行列式；再求余子式，注意：（1）求A*必须转置！（2）别忘了分母||A例如dcbaA，acbdbcadA11法2：初等变换法——主要方法！用初等变换求逆矩阵的步骤如下：（1）写出矩阵()AE；（2）对()AE作行初等变换，即）（初等行变换1)(AEEA注意这里只容许行变换！法3分