线性代数习题及解答

线性代数习题一说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设行列式111213212223313233aaaaaaaaa=2，则111213313233213122322333333aaaaaaaaaaaa=（）A．-6B．-3C．3D．62．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（）A．E+A-1B．E-AC．E+AD．E-A-13．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A．AB可逆，且其逆为-1-1ABB．AB不可逆C．AB可逆，且其逆为-1-1BAD．AB可逆，且其逆为-1-1AB4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是（）A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),TT则=（）A．（0，-2，-1，1）TB．（-2，0，-1，1）TC．（1，-1，-2，0）TD．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V={(x,y,z)|3x+2y+5z=0}的维数是（）A．1B．2C．3D．47．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是（）A．+是Ax=0的解B．+是Ax=b的解C．-是Ax=b的解D．-是Ax=0的解8．设三阶方阵A的特征值分别为11,,324，则A-1的特征值为（）A．12,4,3B．111,,243C．11,,324D．2,4,39．设矩阵A=121，则与矩阵A相似的矩阵是（）A．11123B．01102C．211D．12110．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零C．正定矩阵的行列式一定大于零D．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11．设det(A)=-1，det(B)=2，且A，B为同阶方阵，则det((AB)3)=__________．12．设3阶矩阵A=12243311t，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________．13．设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=__________．14．实向量空间Rn的维数是__________．15．设A是m×n矩阵，r(A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________．16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则(32)A=__________．18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．20．二次型222123123121323(,,)56422fxxxxxxxxxxxx的正惯性指数是__________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式1112114124611242．22．设矩阵A=235，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B．23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．24．设三阶矩阵A=143253242，求矩阵A的特征值和特征向量．25．求下列齐次线性方程组的通解．13412412345023020xxxxxxxxxx26．求矩阵A=22420306110300111210的秩．四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设三阶矩阵A=111213212223313233aaaaaaaaa的行列式不等于0，证明：131112121222323313233,,aaaaaaaaa线性无关．线性代数习题二说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。A表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设3阶方阵A的行列式为2，则12A()A.-1B.14C.14D.12.设212()222122,323235xxxfxxxxxxx则方程()0fx的根的个数为（）A.0B.1C.2D.33.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若,AB则必有（）A.0AB.0ABC.0AD.0AB4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（）A.222()2ABAABBB.22()()ABABABC.()()()()AEAEAEAED.222()ABAB5.设111213212223313233,abababababababababA其中0,0,1,2,3,iiabi则矩阵A的秩为（）A.0B.1C.2D.36.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（）A.0B.2C.3D.47.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（）A.-10B.-4C.3D.108.已知线性方程组1231231243224xxxxaxxxax无解，则数a=()A.12B.0C.12D.19.设3阶方阵A的特征多项式为2(2)(3),EA则A()A.-18B.-6C.6D.1810.若3阶实对称矩阵()ijaA是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（）A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设行列式304222,532D其第3行各元素的代数余子式之和为__________.12.设,,aabbaabbAB则AB__________.13.设A是4×3矩阵且103()2,020,103rAB则()rAB__________.14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.16.设方程组123123123000xxxxxxxxx有非零解，且数0,则__________.17.设4元线性方程组xAb的三个解α1，α2，α3，已知T1(1,2,3,4),T23(3,5,7,9),r()3.A则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2，且250,AA则A的全部特征值为__________.19.设矩阵21100413aA有一个特征值2,对应的特征向量为12,2x则数a=__________.20.设实二次型T123(,,),fxxxxxA已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵2323(,2,3),(,,),AB其中23,,,均为3维列向量，且18,2.AB求.AB22.解矩阵方程11101110221011.1104321X23.设向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，p+2）T，α4=（3，2，-1，p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组1231231232124551xxxxxxxxx,（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知2阶方阵A的特征值为11及21,3方阵2.BA（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型2221231231223(,,)22412fxxxxxxxxxx为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明0.A习题一答案习题二答案线性代数习题三说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=()A.-8B.-2C.2D.82.设矩阵A=11,B=(1,1),则AB=()A.0B.(1,-1)C.11D.11113.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是()A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA4.设矩阵A的伴随矩阵A*=4321,则A-1=()A.211234B.214321C.214321D.2113245.下列矩阵中不是．．初等矩阵的是()A.000010101B.001010100C.100030001D.1020100016.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有()A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA可逆7.设向量组α1=(1,2),α2=(0,2),β=(4,2),则()A.α1,α2,β线性无关B.β不能由α1,α2线性表示C.β可由α1,α2线性表示,但表示法不惟一D.β可由α1,α2线性表示,且表示法惟一8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为()A.0B.1C.2D.39.设齐次线性方程组0xxx0xxx0xxx2321321321有非零解,则为()A.-1B.0C.1D.210.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是()A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零B.f的标准形的系数都大于或等于零C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小