曾谨言量子力学课后答案

1曾谨言量子力学课后答案曾谨言量子力学课后答案曾谨言量子力学课后答案曾谨言量子力学课后答案目录目录目录目录第一章、量子力学的诞生...................................................................................................................................................1第二章波函数与Schrödinger方程...................................................................................................................................3第三章、一维定态问题.......................................................................................................................................................8第四章、力学量用算符表达与表象变换.........................................................................................................................20第五章力学量随时间的变化与对称性...........................................................................................................................33第六章中心力场...............................................................................................................................................................38第七章粒子在电磁场中的运动.......................................................................................................................................44第八章自旋.......................................................................................................................................................................46第九章力学量本征值问题的代数解法...........................................................................................................................50第十章定态问题的常用近似方法...................................................................................................................................55第十一章量子跃迁...........................................................................................................................................................66第十二章散射...................................................................................................................................................................70第一章第一章第一章第一章、、、、量子力学的诞生量子力学的诞生量子力学的诞生量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，∞=axaxxxV0,0,0,)(试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有),3,2,1(2L=⋅=nnaλna/2=∴λ（1）又据deBroglie关系λ/hp=（2）2而能量()Lhh,3,2,12422/2/2222222222==⋅===nmanamnhmmpEπλ（3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为cba,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,,轴方向，把粒子沿zyx,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有()∫==⋅L,3,2,1,xxxnhndxp即hnapxx=⋅2（a2：一来一回为一个周期）ahnpxx2/=∴,同理可得，bhnpyy2/=,chnpzz2/=,L,3,2,1,,=zyxnnn粒子能量++=++=222222222222)(21cnbnanmpppmEzyxzyxnnnzyxhπL,3,2,1,,=zyxnnn1.3设质量为m的粒子在谐振子势2221)(xmxVω=中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。提示：利用)]([2,,2,1,xVEmpnnhxdp−===⋅∫L)(xV解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为ax≤（1）其中a由下式决定：2221)(xmxVEaxω===。a−0ax由此得2/2ωmEa=，（2）ax±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件hnamamdxxamdxxmEmdxpaaaa==⋅=−=−=⋅∫∫∫+−+−2222222222)21(22πωπωωω得ωωπmnmnhah22==（3）3代入（2），解出Lh,3,2,1,==nnEnω（4）积分公式：cauauauduua++−=−∫arcsin22222221.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用,,2,1,20L==∫nnhdpπϕϕϕp是平面转子的角动量。转子的能量IpE2/2ϕ=。解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。它的角动量.ϕϕIp=（广义动量），ϕp是运动惯量。按量子化条件L,3,2,1,220===∫mmhpdxpϕπϕπmhp=∴ϕ，因而平面转子的能量ImIpEm2/2/222h==ϕ，L,3,2,1=m第二章第二章第二章第二章波函数与波函数与波函数与波函数与Schrödinger方程方程方程方程2.1设质量为m的粒子在势场)(rVv中运动。（a）证明粒子的能量平均值为wrdE⋅=∫3，ψψψψVmw**22+∇=h（能量密度）（b）证明能量守恒公式0=⋅∇+∂∂stwv∇∂∂+∇∂∂−=**22ψψψψttmshv（能流密度）证：（a）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）4VTrdVmE+=+∇−=∫322*2ψψh（1）∫=ψψVrdV*3（势能平均值）（2）()()()[]∫∫∇⋅∇−∇⋅∇−=∇−=ψψψψψψ**3222*32)(2动能平均值rdmmrdThh其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此ψψ∇⋅∇=∫*322rdmTh（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2ψψψψVmw+∇⋅∇=h（4）且能量平均值∫⋅=wrdE3。（b）由（4）式，得++⋅−∇=+∇−++∇−+⋅−∇=++∇+∇−∇+∇⋅∇=++∇⋅∇+∇⋅∇=∂∂*..**22.22.*.*.**2.2.**..*2.*.*.*.*22222ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψEsVmVmsVVmVVmtwvhhvhhρtEs∂∂+⋅−∇=v（ρ：几率密度）sv⋅−∇=（定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）所以0=⋅∇+∂∂stwv。2.2考虑单粒子的Schrödinger方程()()()()[]()trriVrVtrmtrti,,2,2122vvvvhvhψψψ++∇−=∂∂（1）1V与2V为实函数。5（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为()∫∫∫∫∫∫∫∫+⋅∇−∇−=ττψψψψψψψψ*32***322rdVSdimrddtdShvh证：（a）式（1）取复共轭，得()*21*22*2ψψψiVVmti−+∇−=∂∂−hh（2）×*ψ（1）-×ψ（2）,得()()()ψψψψψψψψψψψψψψ*2**22**22*2*2222iVmVimti+∇−∇⋅∇−=+∇−∇−=∂∂hhh()()()ψψψψψψψψ*2***22hhVimt+∇−∇⋅∇−=∂∂∴（3）即022≠=⋅∇+∂∂ρρhvVjt，此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积τ积分，得()()()()ψψψψψψψψψψψψψψττττ*23***233***32222rVdSdimrVdrdimrdtS∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫+⋅∇−∇−=+∇−∇⋅∇−=∂∂hvhhh上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ的几率（Sdjvv⋅−=∫∫），而第二项代表体积τ中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.3设1ψ和2ψ是Schrödinger方程的两个解，证明()()0,,2*13=∫trtrrddtdvvψψ。证：12212ψψ+∇−=∂∂VmtihhQ（1）22222ψψ+∇−=∂∂Vmtihh（2）6取（1）之复共轭：*122*12ψψ+∇−=∂∂−Vmtihh（3）×2ψ（3）×−*1ψ（2）,得()()22*1*12222*12ψψψψψψ∇−∇−=∂∂−mtihh对全空间积分：()()[]∫∫∇−∇−=−22*1*122322*132,,ψψψψψψrdmtrtrrddtdihvvh()()()()()[]∫∇⋅∇+∇⋅∇−∇−∇⋅∇−=2*1*122*1*12322ψψψψψψψψrdmh()[]∫∇−∇⋅∇−=2*1*12322ψψψψrdmh()022*1*122=⋅∇−∇−=∫Sdmvhψψψψ，（无穷远边界面上，0,21→ψψ）即()()0,,.2*13=∫trtrrddtdψψ。2.4）设一维自由粒子的初态()h/00,xipex=ψ，求()tx,ψ。解：()h/2200,−=tmpxpietxψ2.5设一维自由粒子的初态()()xxδψ=0,，求()2,txψ。提示：利用积分公式()()2sincos22πξξξξ==∫∫+∞∞−+∞∞−dd或[][]4expexp2ππξξidi=∫+∞∞−。解：作Fourier变换：()()∫+∞∞−=dpepxipxhhϕπψ210,，()()hhhhhπδπϕπϕ21)(210,21===∫∫+∞∞−−+∞∞−−dxexdxexpipxipx，()()()∫+∞∞−−=∴dpeptxEtpxihh/21,ϕπψ（mp