第五章-精确线性化方法

第五章精确线性化方法2012年4月12日星期四5时0分6秒非线性控制系统理论与应用华南理工大学本章安排†SISO系统输入/输出线性化，SISO非线性系统的标准形，状态反馈精确线性化，系统零动态†MIMO系统输入输出精确线性化，状态精确线性化，输入输出精确线性化，状态精确线性化，†MIMO系统的动态扩展鲁棒输入/输出线性化问题†鲁棒输入/输出线性化问题非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四本章重点†精确线性化的含义†精确线性化的主要思想精确线性化的要†输入输出精确线性化†输入输出精确线性化†状态反馈精确线性化非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四精确线性化方法含义在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项因此这种线性化不仅是精确的而性项,因此这种线性化不仅是精确的,而且是整体的即线性化对变换有定义的整且是整体的,即线性化对变换有定义的整个区域都适用个区域都适用。非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四精确线性化主要思想通过适当的非线性状态和反馈变换实现通过适当的非线性状态和反馈变换,实现状态或输入/输出的精确线性化将复杂状态或输入/输出的精确线性化，将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题综合问题。非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四微分几何回顾†切空间†向量场†李括号、李导数李括号李导数†分布和协分布†Frobinus定理一个正则分布完全可积的†Frobinus定理：一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的。某些类型分布或向量场对于的偏微分----某些类型分布或向量场对于的偏微分方程解的存在性定理。非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四SISO系统的输入输出线性化†单输入单输出仿射非线性控制系统()()()数是充分光滑的非线性函上充分光滑的向量场是，hRgfRxxhyuxgxfxnn,,∈⎭⎬⎫=+=&()()uxhLxhLygf+=&()()()()时，10=⇒+−=≠vyvxhLxhLuxhLfg&()()？0≡xhLxhLgg非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四SISO系统的输入输出线性化†相对阶使得时，如果存在整数，当对于单输入单输出系统γ05.1Ux∈与线性系统的对应()()。具有严相对阶则成系统在点使得时，如果存在整数，当对于单输入单输出系统γγγγ0100;2,,0,,05.xxhLLiUxxhLLUxfgifg≠−=∈∀≡−L†与线性系统的对应&⎭⎬⎫+=cxybuAxx()L3221+++=−⎭=−sbcAscAbscbbAsICcxy()LL,2,1,0,0,012==≠====−−ibcAxhLLbcAbcAcAbcbiifgγγγ时系统有相对阶且非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四例5.1考虑下列二阶非线性系统例5.1考虑下列二阶非线性系统uxx⎟⎞⎜⎛+⎟⎟⎞⎜⎜⎛=032&如果输出函数为则可得uxxx⎟⎠⎜⎝+⎟⎟⎠⎜⎜⎝−−1312)(h如果输出函数为,则可得1)(xxhy==0)()(=∂∂=xghxhLg)()(∂gxg2)()(xxfhxhLf=∂=2)()(xxfxxhLf∂1)(=xhLLfg因此，对于该输出，系统在x0为任何值时有相对阶2)(fg非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四SISO非线性系统的标准形†SISO非线性系统在x0相对阶γ≤n李括号†李括号[]()()fxgxfxfxggfgad∂∂−∂∂==,结[]()nfggfgfRCLLLLLxx∞∈−=∂∂λλλλ，,†结论5.1()()⎬⎫⎨⎧≡⇔⎬⎫⎨⎧≡xhLxhLLgadkfgkf00⎭⎬⎩⎨∈∀≤≤⇔⎭⎬⎩⎨∈∀≤≤UxkUxk,0,0μμ非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四SISO非线性系统的标准形†定义()()()()⎪⎪⎬⎫==xhLxΦxhxΦf21结论52（部分坐标变换）()()()()⎪⎪⎭⎪⎬=−xhLxΦff12γγM†结论5.2（部分坐标变换）()()1,,2,1−=UixdΦiγ中是线性无关的。在导数L†()()()0110110≠−=−=+−−−xhLLxhLLjifgjjfgadifγγγ时，当()()⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡−0001xhLxdhgadfγL()()()()()[]()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣−−−−****001001000102xhLLxhLLxgadxgadxgxhdLxhdLfgfgadffffffγγγγMMLM非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四SISO非线性系统的标准形†结论5.3则向量场性系统具有相对阶假设单输入单输出非线定义如下非线性变换为局部微分同胚变换）。是线性无关的（，则向量场性系统具有相对阶假设单输入单输出非线ngadgadgff≤−γγγ1,,,L†定义如下非线性变换：Φ为局部微分同胚变换()()()⎤⎡⎥⎥⎤⎢⎢⎡fhxhLxh()()()()⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡=⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢⎢→−γηηξfffxhLxhxhLxΦMMM11,,:＝令()⎥⎦⎢⎣⎥⎥⎦⎢⎢⎣⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣−−−γγγηηηnfnxhLM11非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四⎦⎣−γηnSISO非线性系统的标准形ξξξξ⎪⎪⎫=21&&()()()uabηξηξξξξ⎪⎪⎪⎪⎬+==29.532&M()()()yquabξηξηηξηξξγ⎪⎪⎪⎪⎭==+=,,,1&()()()()()()ififfLqqhLLahLbyηηξηξηξηξξγγ====⎪⎭−,,,,,,11其中()()()()()()ififgfLqqhLLahLbηηξηξηξηξ,,,,,,非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四SISO非线性系统的标准形⎫=ξξ&()()⎤⎡⎤⎡xhxh⎪⎪⎪⎪⎫==3221ξξξξM&()()()()⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡ξffxhLxhxhLxhMM＝()()()⎪⎪⎪⎪⎬+=⇒,,ηξηξξγuab&M()()⎤⎡⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢⎢→−−γγηηffxhLxhLxΦMM1111:，令()⎪⎪⎪⎭==1,ξηξηyq&⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣ηηηηηMM11⎥⎦⎢⎣⎦⎣−−γγηηnn非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四例5.2考虑下列控制系统⎧⎞⎛⎞⎛3⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎟⎞⎜⎜⎜⎛+⎟⎟⎟⎞⎜⎜⎜⎛+−=232311ucosxsinxxxx&⎪⎪⎩⎪⎨⎟⎟⎠⎜⎜⎝⎟⎠⎜⎝232)(0hx经过下面的计算可知该系统有相对阶2。⎪⎩==3)(xxhy2)(,0)(xxhLxhLfg==为获得标准形的坐标我们选择322)(,1)(sinxxxhLxhLLffg+==非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四为获得标准形的坐标我们选择222311)()()()(xxhLxxxhxf======ΦξΦξ222)()(fξ最后一个坐标选为满足下列条件)(xη)(η0)(221=∂∂+∂∂=∂∂xcosxxxgxηηη注意到该偏微分方程的一个解是当然其余解可以通过在)()(321xsinxxxΦη=−=)(xη⎟⎞⎜⎛∂100Φ上加常量来获得。该变换的雅可比矩阵是⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝−=∂∂010102cosxxΦ非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四该变换阵是一非奇异阵。因此该变换是一全局微分同胚。其逆变换为其逆变换为⎪⎧+=21ξηsinx⎪⎩⎪⎨==1322ξξxx在新的坐标系中，系统的状态方程为⎩13ξx⎪⎪⎨⎧=21ξξξξξi&&⎪⎪⎩⎪⎨+−+=++=)()(12232122ξξξξηηξξξsincossinusin&非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四⎪⎩)()(1222ξξξξηη状态反馈精确线性化†当系统（5.1）的相对阶恰好为n时，其标准形为⎫ξξ&()5313221⎪⎪⎪⎬⎫==ξξξξM&()()()5.31⎪⎪⎪⎭⎪⎬+=ξξξξuabn&M†选取反馈律1⎪⎭=ξy()()[]vbau+−=ξξ1非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四状态反馈精确线性化†状态变换()TnfhLhxΦ1,,:−=→Lξ†反馈变换()()[]vxhLxhLLunfn+−=−11†选取输入使线性系有特性线性()xhLLgfnnvξαξαξα12110−−−−−=L†使原非线性系统具有期望动态特性的非线性状态反馈为[]1()()()()[]xhLxhxhLxhLLunfnnfngf11011−−−−−−=ααL－非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四状态反馈精确线性化†状态反馈精确线性化的目的()()()xΦzuxxu=+=βα线性系统：使得系统变化为能控的及状态变换通过反馈()()()()()()xΦxxbvAzzxΦzuxxu+==+=,,βαβα使得也即寻求线性系统：使得系统变化为能控的及状态变换通过反馈&()()()()()()()bΦAzxxgxfxΦzΦx⎟⎞⎜⎛∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∂∂−=1βα†结论5.4状态反馈精确线性化定理()使得系统解当且仅当存在函数状态精确线性化问题有xh()()()bxxgxΦzΦx=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=1β()()()()的相对阶为在点使得系统解，当且仅当存在函数状态精确线性化问题有xhyuxgxfxxh⎩⎨⎧=+=&非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四。的相对阶为在点nx0状态反馈精确线性化†对于未定义输出的系统()()f&能否找到y=h(x)使其具有相对阶n？系统在点具有相对阶的条件()()uxgxfx+=‡系统在点x0具有相对阶n的条件☆()()()[]0,,,2=∂∂−xgadxgadxghnffL‡保证上式有解的充要条件()()()[],,,∂gggxff)()()()())()()()()1,,,,2,,,,123012−−−−−nxgadxgadxgadxgxxgadxgadxgadxgnfnffnfnff有常数秩张成的分布（局部）具线性无关在LL非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四单输入仿射非线性系统精确状单输入仿射非线性系统精确状态线性化问题有解的条件1.（能控性条件）{})112dddknn2.（能精确线性化条件）{})1;,,,,12ngadgadgadgranknnfff=−−L{}2⎫⎧n{}2)|,,,202是对合分布分布⎭⎬⎫⎩⎨⎧===∑−=−nkkfknfgadcppgadgadgspanDfL‡h(x)可解的充要条件2)是对合分布。a)线性无关b)对合性非线性控制系统理论与应用华南理工大学2012年4月12日星期四单输入仿射非线性系统的精确单输入仿射非线性系统的精确线性化[]()[]()()并检验是否满足计算下一步；是否满足，如满足进行并检验条件计算jijiddddknjijigadgadgadgadgadjinjinnfffff−=−−−2121210,2,,1,0,,,2.1),,,,1.LL[]()()()[]()的解求偏微分方程如果满足，转下一步；xhgadgadxghnnjijigadgadgadgadgranknfjinffff=∂−=−=−22;0312,,1,0,,,,,,,LLL()[]()()()的解求偏微分方程xhLxhxhgadgadxgxfff⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡∂;0,,,3.()()()构造非线性变换xhLxhLxΦznff⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣==−124.M()()()能控标准形。性系统化为