函数的表示法-习题(含答案)

试卷第1页，总3页函数的表示法习题（含答案）一、单选题1．已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x0时，f(x−1)=f(x)，则f(4)=()A．−2B．−1C．0D．22．函数f(x)={1−x2(x1)2−x(x≥1)，f(f(−2))=()A．14B．12C．2D．43．下列各组选项中，表示相同函数的是()A．y=x与y=√x2B．y=x与y=x2xC．y=x2与s=t2D．y=√x+1√x−1与y=√x2−14．函数𝑓(𝑥)={1−𝑥2(𝑥1)2−𝑥(𝑥≥1)，𝑓(𝑓(−4))=()A．12B．18C．2D．85．函数𝑓(𝑥)=𝑥2+ln|𝑥|的图象大致为（）A．B．C．D．6．下列函数中与f（x）=x是同一函数的有（）①y=(√𝑥)2②y=√𝑥33③y=√𝑥2④y=𝑥2𝑥⑤f（t）=t⑥g（x）=xA．1个B．2个C．3个D．4个7．已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥−ln𝑥−1，则𝑦=𝑓(𝑥)的图象大致为试卷第2页，总3页A．B．C．D．8．下列各组函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)表示同一函数的是（）A．𝑓(𝑥)=𝑥2与𝑔(𝑥)=𝑥3𝑥B．𝑓(𝑥)=√1−𝑥2与𝑔(𝑥)=√𝑥+1•√1−𝑥C．𝑓(𝑥)=𝑥与𝑔(𝑥)=√𝑥2D．𝑓(𝑥)=𝑥0与𝑔(𝑥)=19．为了得到函数𝑦=log4𝑥−34的图像，只需把函数𝑦=12log2𝑥图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；C．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；D．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；10．已知定义在𝑅上的奇函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥2+𝑐的图象如右图所示，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系是（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑐𝑎𝑏C．𝑏𝑎𝑐D．𝑎𝑐𝑏二、填空题11．已知函数𝑓(𝑥)={2,𝑥≥0 ， 𝑥+1,𝑥0 ， 则𝑓(−1)=________；𝑓(1)=________.12．设𝑓(𝑥)是定义在R上的函数且𝑓(𝑥+2)=12𝑓(𝑥)，在区间[-1，1]上，𝑓(𝑥)={𝑎𝑥+1,−1≤𝑥0𝑏𝑥+2𝑥+1,0≤𝑥≤1，其中𝑎,𝑏∈𝑅，若𝑓(12)=𝑓(32)，则2𝑎+𝑏的值为_______。13．设函数f（x）在（0，+∞）可导，其导函数为f′（x），若f（lnx）=x2﹣1nx，则f′（1）=_____试卷第3页，总3页14．已知函数𝑓(𝑥)={−2𝑥,𝑥0𝑥2−2𝑥,𝑥≥0，若𝑓(4)𝑓(𝑡)，则实数𝑡的取值范围为_________．15．已知𝑓(√𝑥−2)=𝑥，则𝑓(−1)=_________．三、解答题16．如图，已知底角为45∘的等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷，底边𝐵𝐶长为7𝑐𝑚，腰长为2√2𝑐𝑚，当一条垂直于底边𝐵𝐶（垂足为𝐹）的直线𝑙从左至右移动（与梯形𝐴𝐵𝐶𝐷有公共点）时，直线𝑙把梯形分成两部分，令𝐵𝐹=𝑥，（1）试写出直线𝑙左边部分的面积𝑓(𝑥)与𝑥的函数．（2）已知𝐴={𝑥|𝑓(𝑥)4}，𝐵={𝑥|𝑎−2𝑥𝑎+3},若𝐴∪𝐵=𝐵，求𝑎的取值范围．17．已知函数𝑓(𝑥)={−2𝑥,𝑥12,−1≤𝑥≤12𝑥,𝑥1.(1)求𝑓(−32),𝑓(12),𝑓(4.5),𝑓[𝑓(12)]；(2)若f(a)＝6，求a的值．18．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间𝑡(单位：天)的函数，且销售量满足𝑓(𝑡)={60+𝑡,1≤𝑡≤60150−12𝑡,61≤𝑡≤100,(𝑡∈𝑁)，价格满足𝑔(𝑡)=200−𝑡(1≤𝑡≤100,𝑡∈𝑁)．(1)求该种商品的日销售额ℎ(𝑡)与时间𝑡的函数关系；(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度?19．已知𝑓(𝑥)={𝑓(𝑥+1),−2𝑥02𝑥+1,0≤𝑥2𝑥2−1,𝑥≥2(1)若𝑓(𝑎)=4,且𝑎0,求实数𝑎的值;(2)求𝑓(−32)的值.20．已知函数ℎ(𝑥)=−|𝑥−3|.（1）若ℎ(𝑥)−|𝑥−2|≤𝑛对任意的𝑥0恒成立，求实数𝑛的最小值；（2）若函数𝑓(𝑥)={3𝑥+5,0𝑥32𝑥,𝑥≥3，求函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+ℎ(𝑥)的值域.答案第1页，总11页参考答案1．C【解析】【分析】推导出𝑓(4)=𝑓(3)=𝑓(2)=𝑓(1)=𝑓(0)，由此能求出结果．【详解】∵函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅.当𝑥0时，𝑓(𝑥)=𝑥3−1；当−1≤𝑥≤1时，𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)；当𝑥0时，𝑓(𝑥−1)=𝑓(𝑥)，∴𝑓(4)=𝑓(3)=𝑓(2)=𝑓(1)=𝑓(0)=0．故选：C．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．A【解析】【分析】(1)首先根据-2所在区间，求出𝑓(−2)=1−𝑥2=2.(2)根据取得的值，从而𝑓(𝑓(−2))=𝑓(2)=14.【详解】解：∵函数f(x)={1−x2(𝑥1)2−x(𝑥≥1)，∴f(−2)=1−−22=2，f(f(−2))=f(2)=2−2=14．故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，属于基础题，注意函数性质的合理应用.3．C【解析】【分析】当定义域和对应法则完全相同的函数，才是相同函数，对选项逐一加以判断，即可得到所求结论．【详解】A.y=x，y=√x2=|x|，解析式不同，两函数不相同；B.y=x的定义域为R，y=x2x的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，两函数不相同；答案第2页，总11页C.y=x2，s=t2的定义域都是R，且解析式相同，两函数相同；D.y=√x+1√x−1的定义域为{x|x≥1}，y=√x2−1的定义域为{x|x≤−1，或x≥1}，定义域不同，两函数不相同．故选：C．【点睛】本题考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看这两函数的定义域和解析式是否都相同．4．B【解析】【分析】先求出𝑓(−4)的值，然后代入求出结果【详解】∵函数𝑓(𝑥)={1−𝑥2(𝑥1)2−𝑥(𝑥≥1)∴𝑓(−4)=1+2=3则𝑓(𝑓(−4))=𝑓(3)=2−3=18故选𝐵【点睛】本题主要考查了求函数的值，属于基础题。只要代入分段函数中分别求出结果。5．A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，再利用单调性（或特殊点）判断即可．【详解】函数𝑓(𝑥)=𝑥2+ln|𝑥|是偶函数，排除选项B，C；当x＞0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+lnx，𝑓′(𝑥)=2x+1𝑥＞0∴𝑓(𝑥)在(0，+∞)上单调递增，排除D故选：A【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的答案第3页，总11页值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．C【解析】【分析】可通过求函数的定义域和化简函数解析式，可判断各函数的解析式和定义域是否都和f（x）=x的相同，从而判断是否为同一函数．【详解】f（x）=x的定义域为R；①𝑦=(√𝑥)2的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数；②𝑦=√𝑥33=𝑥的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数；③𝑦=√𝑥2=|𝑥|，解析式不同，不是同一函数；④𝑦=𝑥2𝑥的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；⑤f（t）=t的定义域为R，解析式和定义域都相同，是同一函数；⑥g（x）=x的定义域为R，解析式和定义域都相同，是同一函数．故选：C．【点睛】考查函数的定义，函数的三要素，判断两函数是否相同的方法：判断定义域和解析式是否都相同．7．A【解析】【分析】先利用导数研究函数的单调性，可得函数𝑓(𝑥)在(0,1)上递增，排除𝐶，再证明𝑥∈(0,1)∪(1,+∞)，有𝑓(𝑥)≥0,可排除𝐵,𝐷,,从而可得结果.【详解】答案第4页，总11页令𝑔(𝑥)=𝑥−ln𝑥−1,则𝑔′(𝑥)=1−1𝑥=𝑥−1𝑥，由𝑔′(𝑥)0,得𝑥1,即函数𝑔(𝑥)在(1,+∞)上单调递增,由𝑔′(𝑥)0,得0𝑥1,即函数𝑔(𝑥)在(0,1)上单调递减，所以当𝑥=1时,函数𝑔(𝑥)有最小值，𝑔(𝑥)min=𝑔(0)=0,于是对任意的𝑥∈(0,1)∪(1,+∞)，有𝑔(𝑥)0,𝑓(𝑥)0故排除𝐵,𝐷,因函数𝑔(𝑥)在(0,1)上单调递减，則函数𝑓(𝑥)在(0,1)上递增，故排除𝐶,故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及𝑥→0+,𝑥→0−,𝑥→+∞,𝑥→−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8．B【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判定它们是同一个函数．【详解】对于A，f（x）=𝑥2（x∈R）与g（x）=𝑥3𝑥=𝑥2（x≠0），两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，𝑓(𝑥)=√1−𝑥2(−1≤𝑥≤1)与𝑔(𝑥)=√𝑥+1•√1−𝑥=√1−𝑥2(−1≤𝑥≤1)，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数；对于C，𝑓(𝑥)=𝑥与𝑔(𝑥)=√𝑥2=|𝑥|，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数；对于D，𝑓(𝑥)=𝑥0=1（x≠0）与𝑔(𝑥)=1（x∈R），两个函数的定义域不同，不是同一函答案第5页，总11页数；故选：B【点睛】本题考查了判断两个函数是否表示同一函数的问题，解题时应熟练掌握同一函数的定义，即两个函数的定义域和解析式均一致或两个函数的图象一致，是基础题目．9．C【解析】【分析】化简函数解析式，再根据平移规律确定选项.【详解】因为𝑦=log4𝑥−34=log4(𝑥−3)−1，𝑦=12log2𝑥=log4𝑥，所以把函数𝑦=12log2𝑥图像上所有的点向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得函数𝑦=log4𝑥−34的图像，选C.【点睛】本题考查函数图象变换,考查基本分析求解能力,属基础题.10．D【解析】【分析】根据函数的定义域为𝑅，得到𝑐0，根据函数过原点得到𝑏=0，根据𝑓(1)=1，判断𝑎，𝑐的关系，进而可得结果.【详解】∵函数过原点，∴𝑓(0)=𝑏𝑐=0，∴𝑏=0，由图象知函数的定义域为𝑅，则𝑐0，又𝑓(1)=1，即𝑓(1)=𝑎1+𝑐=1，则𝑎=1+𝑐𝑐，∴𝑎𝑐𝑏，故选D．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和应用，根据函数图象的特点转化为函数的性质是解决本题的关键，其性质主要包括函数的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性，对称性等，同时过某点也是常用方法，属于中档题.答案第6页，总11页11．02【解析】【分析】分别将𝑥=−1和𝑥=1代入分段函数的第二段和第一段即可求出𝑓(−1)和𝑓(1)的值.【详解】因为函数𝑓(𝑥)={2,𝑥≥0 ， 𝑥+1,𝑥0 ， 则𝑓(−1)=−1+1=0；𝑓(1)=2.【点睛】本题主要考查分段函数