复变函数与积分变换-第二章课后答案

1习题二（A）1.求积分dzzC23的值.（1）C为从1i到34i的直线段；（2）C为以0,1,i为顶点的三角形的正向周界．解（1）233413(44117)(22)46115iiCzdzziii.(2)由于被积函数在全平面上解析,利用柯西积分定理得230Czdz.2.设C是由点0到点3的直线段与点3到点3i的直线段组成的折线，求积分ReCzdz．解将C分为两段,从z=0到z=3,1c的方程为3,zx01,xRe3,zx1ReCzdz109332xdx.再从z=3到z=3+i,2c的方程为3,ziy01,yRe3,z210Re3czdzidy3i.因此ReCzdz=12ReReCCzdzzdz932i.3.分别沿直线yx与抛物线2yx计算积分120()ixiydz的值．解(1)路线yx的参数方程为xtyt,01t或,01ztitt，则(1),dzidt所以11220015()()(1)66ixiydztitidti(2)路线2yx的参数方程为2xtyt，01t或22,01ztitt，则(12)dzitdt，所以1111222230000()()(12)(1)(2)ixiydztittidtitdtitdt1566i.4.设C是正向圆周1z，指出下列各积分的值，并说明依据是什么？（1）2Cdzz；（2）224Cdzzz；（3）cosCdzz；（4）12Cdzz；（5）zCzedz；（6）()(2)2Cdzizz．解1），2），3），5）题的被积函数在1z内无奇点，故积分为0.4）奇点12z在C内，但()1fz在c内解析，故积分等于2i（依据柯西积分公式）.6)有一个奇点2iz在C内，但1()2fzz，2()24ifi，依据柯西积分公式得iizizdzC4422.5.计算（1）323(3)izdz；（2）20cosizdz．解(1)323(3)izdz333(3)33izi;(2)因()cosfzz在z平面上解析，且sincoszz是的一个原函3数，所以2200cossinsin(2)sin2iizdzzii.6.计算（1）11izzedz；（2）coshiizzdz．解(1)1111iizzzedzzde11111111(1)iziziziizeedzieeeie.(2)'cos(sin)iiiizzdzzzdzsinsin0(cos)iiiiiizzzdzz=2cosi.7.沿指定曲线的正向计算下列各积分：（1）2zCedzz，C：21z；（2）22Cdzza(0)a，C：zaa；（3）21izCedzz，C：322zi；（4）0()Cfzdzzz，C：1z；()fz在1z上解析,01z；（5）2221(1)Czzdzz，C：12z；（6）231(1)(1)Cdzzz，C：1zr；（7）sinCzdzz，C：1z；4（8）221(1)(4)Cdzzz，C：32z；（9）4sinCtzdzz，C：1z,t是常数；（10）5zCedzz，C：1z．解(1)奇点2z在C内，由柯西积分公式22222zzzcdzeieiez.(2)只有一个奇点za在C内，则iaaziazdzazazc121.(3)只有一个奇点zi在C内，则2izizzicedzeizizizie.(4)因为01z,所以0z在C外，则0()Cfzdzzz=0.(5)1z在c内依据柯西积分公式得1212(21)61zczdziziz.(6)被积函数在C内均无奇点，故231(1)(1)Cdzzz=0.(7)C内有一个奇点z=0,所以0sin2sin0zczdzizz.5(8)()fz有四个奇点，其中zic在内，作互不相交互不包含且在C内的小圆周12cc和包含i与-i，则122211(4)()(4)()ccdzdzzzizizziziizizzzizzi24122412220142114212iii(9)奇点0z在C内，故3'''30012[sin](cos)3!33zzitIitzttzi.(10)奇点0z在c内，依据高阶导数公式1212!42004ieieiIzzzz.8.计算下列积分（1）123cosCCzdzz，1C：2z为正向，2C：3z为负向．（2）221(1)(1)Cdzzz，C：1)1(22yx为正向．（3）2sin4zCezdzz，C：3z为正向．（4）33cos(1)Czdzzz，C：2z为正向．6解（1）1212333coscoscoscccczzzdzdzdzzzz1233coscoscczzdzdzzz1C：2z为正向，2C：3z为负向，由高阶导数积分公式得''''00112(cos)2(cos)02!2!zziziz原式.(2)22)1)(1(1zz在22(1)1xy内有一个奇点1z，做以1为心的位于c内的互不相交且互不包含的小圆周c，依复合闭路定理与柯西积分公式，有1'22222112111111zcczizdzzdzzzii212(3)因为4sin2zzez在:C3z内的奇点为ii2,2则dzzzezz324sindzizizzeizz1222sindzizizzeizz1222siniiieiiiieiii22)2sin(2222sin22222sin22sin22ieieii22sin22iieeiii2cosh2sin.7即dzzzezz324sinii2cosh2sin.(4)33)1(coszzz在:C2z内的奇点为1,0则，dzzzzz233)1(cosdzzzzz2133)1(cosdzzzzz21133)1(cos1''30''3cos!221cos!22zzzzizzi122)12()12(222iii即)12(2)1(cos233idzzzzC.9.由下列各调和函数，求解析函数()fzuiv．（1）22()(4)uxyxxyy；（2）22uxyy，()fii；（3）2(1)vxy，(0)1f；（4）(cossin)xuexyyy，(0)fi.解(1)cdyyvdxxvyxvyx,0,0,cdyxudxyuyx,0,08cdyxudxyudyxudxyuyxxx,0,0,0,0=00(,0)(,)xyyxuxdxuxydyc=222003(363)xyxdxxxyydyc322333xxyxyyc，所以223223()()(4)(33)fzxyxxyyixxyxyyc3(1)()ixiyic=3(1)(izicc为任意常数).(2)2,21uuxyxy，因为2,vuxyx所以2()vxdyfx=2()xyfx'2()21vuyfxyxy，则()fxxc所以2vxyxc，22()(2)fzxyyixyxc，由()fii得c=1,则有22()(21)fzxyyixyx=)1(2ziz(3)2,2(1)vvyxxy，22(1)()uvxyxy因为，所以u=(x-1)9'()2uvyyyx，所以2()yyc，22(1)uxyc22()(1)2(1)fzxycixy，由(0)1f得0c，则有22()(1)12(1)fzxyixy=21z.(4)cdyyvdxxvyxvyx,0,0,cdyxudxyuyx,0,0cdyxudxyudyxudxyuyxxx,0,0,0,0=00(,0)(,)xyyxuxdxuxydyc=000(coscossin)xyxdxexyyyydyc(sincos)xexyyyc，所以()(cossin)[(sincos)]xxfzexyyyiexyyyc,由于(0)fi，则1c，即()(cossin)[(sincos)1]xxfzexyyyiexyyyzzei.习题二（B）101.求积分3cos(1)Czdzzz的值，其中C是一条不经过点0z，1z的正向简单闭曲线．解：当C既不包含0z也不包含1z时，0)1(cos3dzzzzC；当C只包含0z时，dzzzzC)1(cos3dzzzzz2131cosizziz0''1cos!22；当C只包含1z时，dzzzzC)1(cos31cos2cos21cos132113izzidzzzzzz；当C包含0z和1z时，dzzzzC)1(cos3dzzzzz2131cosdzzzzz21131cosii1cos2.2.求积分()()nnCdzzazb的值，其中曲线C为正向圆周1z，且ab1.解：令2:1abazc为正向，2:2abbzc为正向。dzbzazdzazbzbzazdzcnncnncnn211111bznnaznnaznibzni1)1(1)!1(21!12bznnaznnaznnnibznnni121121)!1(!1)!22(21!1!1!2221=03.计算积分1zzedzz，从而证明cos0cos(sin)ed.解：因为diiedzzeizzsinsinsincossincos1deieisincosdie)sincossinsin(cosdei)cos(sin2cos，因为iiedzzezzzz2201所以cos0cos(sin)ed.4.设曲线22:3Cxy，函数2371()Cfzdz，求(1)fi.12解：因为22(371),()0,.izzzcfzzc在内，不在内所以)6(