数列概念及等差数列复习资料

第-1-页共8页数列概念及等差数列1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，……，na，……，简记作na。（2）通项公式的定义：如果数列}{na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式例如，数列①的通项公式是na=n（n7，nN），数列②的通项公式是na=1n（nN）。说明：①na表示数列，na表示数列中的第n项，na=fn表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na=(1)n=1,21()1,2nkkZnk；③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()fn当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff……，()fn，……．通常用na来代替fn，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆第-2-页共8页动数列（5）递推公式定义：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式2．等差数列（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaadn或1(1)nnaadn。（2）等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。（3）等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA。（4）等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnnaannSnad。【典例解析】题型1：数列概念(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.3D.72.根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7……；（2）2212，2313，2414，2515；（3）11*2，12*3，13*4，14*5。第-3-页共8页例2．数列na中，已知21()3nnnanN，（1）写出10a，1na，2na；（2）2793是否是数列中的项？若是，是第几项？例3．如图,一粒子在区域(,)|0,0xyxy上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。（1）设粒子从原点到达点nnnABC、、时，所经过的时间分别为nnna、b、c，试写出}nnna{}、{b}、{c的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆。例4．（1）已知数列na适合：11a，1na22nnaa，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列na，通过等式1nnnbaa构造新数列nb，写出nb，并写出nb的前5项题型3：数列的应用例5．湖南省2008届十二校联考第一次考试如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．(1)设数列{}na是公方差为p的等方差数列，求na和1na(2)nnN，的关系式；(2)若数列{}na既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；(3)设数列{}na是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将12310aaaa，，，，这种0C5C4C3C2B5B4B3B2A6A5A4A3A2C1B1A1xy第-4-页共8页顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．例6．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内题型4：等差数列的概念例7．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列例8．设数列}{na、}{nb、}{nc满足：2nnnaab，2132nnnnaaac（n=1,2,3,…），证明：}{na为等差数列的充分必要条件是}{nc为等差数列且1nnbb（n=1,2,3,…）题型5：等差数列通项公式例9．（2009天津卷文）已知等差数列}{na的公差d不为0，设121nnnqaqaaS*1121,0,)1(NnqqaqaaTnnnn（Ⅰ）若15,1,131Saq,求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）若3211,,,SSSda且成等比数列，求q的值。（Ⅲ）若*2222,1)1(2)1(1,1NnqqdqTqSqqnnn）证明（例10．已知等比数列}{nx的各项为不等于1的正数，数列}{ny满足)1,0(2logaaaynxn，设12,1863yy。（1）求数列}{ny的前多少项和最大，最大值为多少？第-5-页共8页（2）试判断是否存在自然数M，使当Mn时，1nx恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；（3）令),13(log1Nnnxanxnn，试判断数列}{na的增减性？题型6：等差数列的前n项和公式例11．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项（2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1B.2C.4D.6（3））设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若36SS＝13，则612SS＝（）A．310B．13C．18D．19例12．（1）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛nSn｝的前n项和，求Tn。（2）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；（Ⅱ）设数列｛an｝的通项an=lg（1+nb1），记Sn是数列｛an｝的前n项和，试比较Sn与21lgbn+1的大小，并证明你的结论。题型7：等差数列的性质及变形公式例13．（1）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误．．的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值第-6-页共8页（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.260例14．在XOY平面上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…，对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000（10a）x（0＜a＜10＝的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。（Ⅰ）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（Ⅱ）若对每个自然数n，以bn，bn＋1，bn＋2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（Ⅲ）（理）设Bn＝b1，b2…bn（n∈N）.若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，求数列｛Bn｝的最大项的项数（文）设cn＝lg（bn）（n∈N）.若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列｛cn｝前多少项的和最大?试说明理由。五．【思维总结】1．数列的知识要点：（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N（或它的有限子集｛1，2，3，…，n，…｝）上的函数f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…。数列的图象是由一群孤立的点构成的。（2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛an｝中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。即an＝)2()1(11nSSnSnn。特别要注意的是，若a1适合由an＝Sn－Sn－1（n≥2）可得到的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子第-7-页共8页2．等差数列的知识要点：（1）等差数列定义an＋1－an＝d（常数）（nN），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3－a2＝a2－a1＝d（常数）就说｛an｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。还可由an＋an＋2＝2an＋1即an＋2－an＋1＝an＋1－an来判断。（2）等差数列的通项为an＝a1＋（n－1）d．可整理成an＝an＋（a1－d），当d≠0时，an是关于n的一次式，它的图象是一条直线上，那么n为自然数的点的集合（3）对于A是a、b的等差中项，可以表示成2A＝a＋b。（4）等差数列的前n项和公式Sn＝21naa·n－na1＋2)1(nnd，可以整理成Sn＝2dn2＋nda)2(1。当d≠0时是n的一个常数项为0的二次式。（5）等差数列的判定方法：①定义法：对于数列na，若daann1(常数)，则数列na是等差数列；②等差中项：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等差数列。3．等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是AP，如：1a，3a，5a，7a，……；3a，8a，13a，18a，……；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanmd，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；5．说明：设数列{}na是等差数列，且公差为d，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇S偶nd；②1nnSaSa奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n第-8-页共8页项，则①S偶S奇naa中；②1SnSn奇偶。6．（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：①若已知nS，可用二次函数最值的求法（nN）；②若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。