与圆有关的位置关系

第二节与圆有关的位置关系知识点一点与圆、直线与圆的位置关系1．点与圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：(1)点在圆外⇔d____r；(2)点在圆上⇔d_____r；(3)点在圆内⇔d____r.＝2．直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离OP＝d，知识点二切线的性质与判定1．切线：直线和圆有_______的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．2．切线的性质：圆的切线_______于过切点的半径．唯一垂直3．切线的判定(1)定义判定：和圆有_______公共点的直线是圆的切线．(2)数量关系：圆心到直线的距离等于_______的直线是圆的切线．(3)定理：过半径外端且_______于半径的直线是圆的切线．唯一半径垂直4．切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长_______．相等知识点三三角形的内切圆1．和三角形各边都_______的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．2．三角形的内心是三角形的三条___________的交点，它到三角形三边的距离相等．3．三角形的内心都在三角形的内部．相切角平分线若已知⊙O是△ABC的内切圆，三角形三边长分别为a，b，c，面积为S，圆的半径为r，则r＝.特别地，当△ABC是直角三角形，∠C＝90°，则r＝(a＋b－c)．2Sabc12考点一点、直线与圆的位置关系(5年0考)例1如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是．【分析】先确定出当AB与小圆相切时的值，由弦AB与小圆相交，明确AB与小圆有两个交点，则AB应大于这个值，再由大圆的直径确定出AB的最大值即可．【自主解答】如图，当AB向下移动到A′B′位置，恰好与小圆相切时有一个公共点D，连接OA′，OD，则OD⊥A′B′.∵OD⊥A′B′，∴A′D＝B′D.在Rt△A′DO中，OD＝3，OA′＝5，∴A′D＝4，∴A′B′＝2A′D＝8.当AB恰好是大圆的直径时，AB＝10，∴AB的取值范围是8＜AB≤10.故答案为8AB≤10.1．(2017·枣庄)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()B2．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线，记为l，则下列说法正确的是()A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离B．当BC等于2时，l与⊙O相切C．当BC等于1时，l与⊙O相交D．当BC不为1时，l与⊙O不相切D3．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为_______________．1253＜r≤4或r＝考点二切线的性质与判定(5年5考)命题角度❶切线的性质例2(2016·济南)如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA＝40°，求∠ABC的度数.【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【自主解答】∵PA是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°.∵∠OPA＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°.12利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂直，然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题．4．(2017·济南)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB＝60°，若量出AD＝6cm，则圆形螺母的外直径是()A．12cmB．24cmC．6cmD．12cm33D5．(2013·济南)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD＝35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C＝_____度．206.(2014·济南)如图，AB与⊙O相切于点C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长．解：如图，连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.又∵∠A＝∠B，∴OA＝OB，∴AC＝AB＝×16＝8.在Rt△AOC中，OA＝1212命题角度❷切线的判定例3(2016·张家界)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC＝∠CAD.(1)求证：直线MN是⊙O的切线；(2)若CD＝3，∠CAD＝30°，求⊙O的半径．【分析】(1)连接OC，根据角之间的关系得出AD∥OC，进而得出OC⊥MN，根据点C在圆上证得结论；(2)在Rt△ADC中，求出AC的长，然后利用Rt△ABC求出AB的长即可．【自主解答】(1)如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD.∵AD⊥MN，∴OC⊥MN.又∵OC是⊙O的半径，∴直线MN是⊙O的切线．(2)在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，CD＝3，∴AC＝2CD＝6.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD＝30°，讲：切线的判定方法(1)“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直；(2)“作垂直，证等径”：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径．在判定时，必须说明“是半径”或“点在圆上”，这是最容易犯错的地方．练：链接变式训练87.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE＝7，BC＝6，求AC的长．(1)证明：如图，连接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C，∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB.∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切．(2)解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED＋∠ACD＝180°.∵∠AED＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠ACD.又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，8．(2017·咸宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，cosA＝，求DF的长．25(1)证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B.又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，OD∥AC.∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODF＝∠DFC＝90°.又∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．