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海量资源，欢迎共阅《圆锥曲线》单元测试题班级姓名学号分数第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1、若双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.B．5C.D．22、圆锥曲线＋＝1的离心率e＝，则a的值为()A．4B．－C．4或－D．以上均不正确3、以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为()A.－1B．2－C.D.4、已知双曲线－＝1与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，其中a10，a2b0，那么以a1、a2、b为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5、设椭圆＋＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝16、已知椭圆E：＋＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()海量资源，欢迎共阅A．kx＋y＋k＝0B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0D．kx＋y－2＝07、过双曲线M：x2－＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是()A.B.C.D.8、设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为()A．1B．2C．3D．49、设F1、F2分别是椭圆＋＝1(ab0)的左、右焦点，与直线y＝b相切的⊙F2交椭圆于点E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.－110、如图所示，从双曲线－＝1(a0，b0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为()A．|MO|－|MT|b－aB．|MO|－|MT|＝b－aC．|MO|－|MT|b－aD．不确定11、已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(－∞，4]C．(10，＋∞)D．(－∞，10]12、点P在曲线C：＋y2＝1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，海量资源，欢迎共阅交直线l：x＝4于B点，满足|PA|＝|PB|或|PA|＝|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是()A．曲线C上的所有点都是“H点”B．曲线C上仅有有限个点是“H点”C．曲线C上的所有点都不是“H点”D．曲线C上有无穷多个点是“H点”题号123456789101112答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上．)13．已知点A(1,0)，B(2,0)．若动点M满足·＋||＝0，则点M的轨迹方程为________．14．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为______．15．设双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1、F2，P是直线x＝4上的动点，若∠F1PF2＝θ，则θ的最大值为________．16．直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证海量资源，欢迎共阅明过程或演算步骤．)17、已知A(－2,0)、B(2,0)，点C、点D满足||＝2，＝(＋)．(1)求点D的轨迹E的方程；(2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆G于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与轨迹E相切，求椭圆G的方程．18、设椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率为，过原点O斜率为1的直线与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1·k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．19、过点M(1,1)作直线与抛物线x2＝2y交于A、B两点，该抛物线在A、B两点处的两条切线交于点P.(1)求点P的轨迹方程；(2)求△ABP的面积的最小值．20、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.海量资源，欢迎共阅(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．21、如图，在由圆O：x2＋y2＝1和椭圆C：＋y2＝1(a1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得·＝2，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．22、已知椭圆的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF2的周长等于8.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．《圆锥曲线》单元测试题答案一、选择题：题号123456789101112海量资源，欢迎共阅答案ACABBDDBABDD二、填空题：13、＋y2＝114、－15、30°16、三、解答题：17、[解析](1)设C、D点坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则＝(x0＋2，y0)，＝(4,0)，则＋＝(x0＋6，y0)，故＝(＋)＝.又＝(x＋2，y)，故解得代入||＝＝2得x2＋y2＝1，即为所求点D的轨迹E的方程．(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)①又设椭圆方程为＋＝1(a24)②因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故＝1，解得k2＝.将①代入②整理得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝，即(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－.由题意有＝2×，求得a2＝8.经检验，此时Δ0.故所求的椭圆方程为＋＝1.18、[解析](1)设椭圆的焦距为2c(c0)，焦点F(c,0)，直线l：x－y＝0，F到l的距离为＝，解得c＝2，又∵e＝＝，∴a＝2，∴b＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由解得x＝y＝，或x＝y＝－，海量资源，欢迎共阅不妨设M，N，P(x，y)，∴kPM·kPN＝·＝，由＋＝1，即x2＝8－2y2，代入化简得k1·k2＝kPM·kPN＝－为定值．19、[解析](1)设直线AB方程为y＝k(x－1)＋1，代入x2＝2y中得，x2－2kx＋2k－2＝0其中Δ＝(－2k)2－4(2k－2)＝4[(k－1)2＋1]0记A，B，则x1＋x2＝2k，x1x2＝2k－2.对y＝求导得，y′＝x则切线PA的方程为y＝x1(x－x1)＋，即y＝x1x－①同理，切线PB的方程为y＝x2x－②由①、②两式得点P的坐标为，于是得P(k，k－1)，设P(x，y)，则，消去参数k，得点P的轨迹方程为x－y－1＝0.(2)由(1)知|AB|＝|x1－x2|＝＝2.点P到直线AB的距离d＝＝△ABC的面积S＝|AB|·d＝(k2－2k＋2)＝[(k－1)2＋1].当k＝1时，S有最小值1.20、[解析](1)由题意得直线BD的方程为y＝x＋1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.海量资源，欢迎共阅于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋640，解得－n.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝，所以AC的中点坐标为.由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y＝x＋1上，所以＝＋1，解得n＝－2.所以直线AC的方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.所以菱形ABCD的面积S＝|AC|2.由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以S＝(－3n2＋16).所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.21、[解析](1)∵e＝＝，c2＝a2－1，∴＝，解得：a2＝3，所以所求椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在直线l，使得·＝2易得当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y＝kx＋b，由直线l与圆O相切可得，b2＝k2＋1①把直线y＝kx＋b代入椭圆C：＋y2＝1中，整理得：(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0海量资源，欢迎共阅则x1＋x2＝－，x1·x2＝，·＝x1·x2＋y1·y2＝x1·x2＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝(1＋k2)x1·x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝(1＋k2)＋＋b2＝＝②由①②两式得k2＝1，b2＝2，故存在直线l，其方程为y＝±x±.22、[解析](1)由题意知c＝，4a＝8，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，由消去y得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝，则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，∴·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝m2－＋＋k2＝要使上式为定值须＝，解得m＝，∴·为定值，当直线l的斜率不存在时P，Q，由E可得＝，＝，∴·＝－＝，综上所述当E时，·为定值.