2.1简单形式的柯西不等式-课件

第二章§1柯西不等式界首一中肖雨1.1简单形式的柯西不等式大数学家柯西（Cauchy)法国数学家、力学家。1789年8月21日生于巴黎，1857年5月23日卒于索镇。曾为巴黎综合工科学校教授，当选为法国科学院院士。曾任国王查理十世的家庭教师。柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面。此外，柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚丰，共出版了七部著作和800多篇论文，1882年开始出版他的全集，至1970年已达27卷之多。他的临终名言是“人总是要死的，但是，他们的业绩永存”有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式.如均值不等式:1212(,1,2,,)nnniaaaaaaaRinn≥.2221122abababab调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯西不等式,知道它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.定理1（二维形式的柯西不等式）:222222222222222)()(bd)(ac))((:bdacbcadcbdadbcadcba证明你能证明吗？（1）(a＋b)(c＋d)≥(a，b，c，d为非负实数)；（2）a2＋b2·c2＋d2≥(a，b，c，d∈R)；（3）a2＋b2·c2＋d2≥(a，b，c，d∈R)．|ac＋bd||ac|＋|bd|(ac＋bd)2柯西不等式的推论：,,,,.xOyabcd如图，设在平面直角坐标系中有向量与之间的夹角为xyO22222)())((bdacdcba探究：柯西不等式的几何意义是什么？定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β是两个向量，则|α·β|≤，当且仅当β是，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．|α||β|零向量xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)022122122222121)()(yyxxyxyx根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:观察定理3：（二维形式的三角不等式）x21＋y21＋x22＋y22≥(x1，y1，x2，y2∈R)．推论：x1－x32＋y1－y32＋x2－x32＋y2－y32≥，(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．x1－x22＋y1－y22x1－x22＋y1－y22[小问题·大思维]1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成ab＝cd吗？提示：不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但ab＝cd不成立．2．不等式x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线，且P1，P2在原点两旁时，等号成立．[例1]设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2·a2＋b2≥a＋b，同理：2·b2＋c2≥b＋c，2·a2＋c2≥a＋c，将上面三个同向不等式相加得：2(a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2)≥2(a＋b＋c)，∴a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2≥2·(a＋b＋c)．[方法总结]利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R＋.[变式训练]1．设a1，a2，a3为正数，求证：a31＋a21a2＋a1a22＋a32＋a32＋a22a3＋a2a23＋a33＋a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33)．证明：因为a31＋a21a2＋a1a22＋a32＝(a1＋a2)·(a21＋a22)，由柯西不等式得[(a1)2＋(a2)2](a21＋a22)≥(a1a1＋a2a2)2，于是a31＋a21a2＋a1a22＋a32≥(a31＋a32)2.故a31＋a21a2＋a1a22＋a32≥a31＋a32，同理a32＋a22a3＋a2a23＋a33≥a32＋a33，a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥a33＋a31.将以上三个同向不等式相加，即得a31＋a21a2＋a1a22＋a32＋a32＋a22a3＋a2a23＋a23＋a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33)．[例2]设a，b，c，d是4个不全为零的实数，求证：ab＋2bc＋cda2＋b2＋c2＋d2≤2＋12.[精讲详析]本题考查柯西不等式的灵活应用，解答本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件．ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad)≤2[ab＋cd2＋bc－ad2]＋b2＋a2c2＋d2＝2·a2＋c2b2＋d2＋a2＋b2c2＋d2≤2·a2＋c2＋b2＋d22＋a2＋b2＋c2＋d22＝2＋12(a2＋b2＋c2＋d2)．∴ab＋2bc＋cda2＋b2＋c2＋d2≤2＋12.[方法总结]利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[变式训练]2．设a，b∈R*，且a＋b＝2.求证：a22－a＋b22－b≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)](a22－a＋b22－b)＝[(2－a)2＋(2－b)2][(a2－a)2＋(b2－b)2]≥(2－a·a2－a＋2－b·b2－b)2＝(a＋b)2＝4.∴a22－a＋b22－b≥42－a＋2－b＝2.∴原不等式成立.[例3]若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后利用柯西不等式求最值．由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.当且仅当x3＝y4时等号成立，由3x＋4y＝2，x3＝y4.得x＝625，y＝825.因此，当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425.[方法总结]利用柯西不等式求最值的方法(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用的技巧之一．[变式训练]3．如何把一条长为m的绳子截成3段，各围成一个正方形，使这3个正方形的面积和最小？解：设这3段的长度分别为x，y，z，则x＋y＋z＝m，且3个正方形的面积和S＝(x4)2＋(y4)2＋(z4)2＝116(x2＋y2＋z2)．因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2，等号当且仅当x＝y＝z＝m3时成立，所以x2＋y2＋z2有最小值m23，从而S有最小值m248.把绳子三等分后，这3段所围成的3个正方形的面积和最小．[考题检测](2016·郑州模拟)已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋d2＝2，求ac＋bd的最大值．[命题立意]本题考查柯西不等式在求最值中的应用．[解]∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝2，∴由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，得(ac＋bd)2≤1×2＝2.∴－2≤ac＋bd≤2.当且仅当ad＝bc，即ca＝db＝2时取最大值2.∴ac＋bd的最大值为2.课后作业：课本：P31T4，T5，T6思考：问题1：还有没有其他方法来证明柯西不等式的二维形式？问题2：柯西不等式的三维、四维、n维的形式是怎样的？如何推导？