函数恒成立问题课件

恒成立问题常见类型及解法情景设置期中考试结束了，几人欢喜几人愁！教室外面的张三同学考试成绩比我们班同学都低，用不等式的知识怎样概括表达？可以归结为什么类型的问题？简单的生活问题，概括为“不等式恒成立”的数学问题，它不但在近几年高考中频繁出现，而且出现的试题大多数以大题为主。2009－2011高考试卷中恒成立的题目如下：了解高考，把握热点0939套安徽理第20题文第21题全国II文第21题理第22题陕西理文第22题理第21题辽宁理第22题全国I理第19题湖南理第21题文第21题天津理第20题文第21题有12套201039套重庆理第5题浙江文第21题理第22题上海理第11题辽宁理第21题江西理第15，17题湖北文理21题北京理第18题文18题湖南理第8题上海春季招生第17题有11套201139套山东理第14题，全国II文第22题理第20题全国Ⅲ理第21题湖北理第21题海南文第20题理第21题天津理第16题湖南理第20题安徽文第17题理第19题四川理第22题江西文第17题理第19题福建文第22题理第21题有16套问题引领已知不等式对恒成立求正实数的取值范围．0122axx]2,1[xa思路1、通过化归最值，直接求函数的最小值解决，即12)(2axxxf0)(minxf思路2、通过分离变量，转化到解决，即)1(21212xxxxamin2)21(xxa12xy思路3、通过数形结合，化归到作图解决，即图像在的上方axx212axy2概括方法恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）直接转化为函数的最值求解；（5）根据函数的图象求解；下面分别举例示之。１、f(x)=ax+b,x[α,β]，根据函数的图象（线段）得：f(x)0恒成立＜＞f(x)0恒成立＜＞αβoxyf()0f()0f()0f()0一、一次函数型若不等式2x121mx对一切2,2m都成立，求实数x的取值范围。【解析】令f(m)＝（21x）m－2x＋1，则上述问题即可转化为关于m的一次函数y()fm在区间[-2，2]内函数值小于0恒成立的问题。考察区间端点，只要(2)7131,(2)22＜0，＜＜＜0fxf解得即x的取值范围是（712，312）.典例导悟一二、二次函数型【理论阐释】若二次函数2(0,)yaxbxcaxR的函数值大于0恒成立，则有a00，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。三、分离参数型（转化为求新函数最值）【理论阐释】若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。ａ≥[f(x)]maxａ≤[f(x)]minａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________;ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。（2010·天津高考理科Ｔ16）设函数2()1fxx，对任意3[,)2x24()(1)4()xfmfxfxfmm恒成立，则实数m的取值范围是。【解析】依据题意得22222214(1)(1)14(1)xmxxmm在3[,)2x上恒定成立，即22213241mmxx在3[,)2x上恒成立。典例导悟二当32x时函数2321yxx取得最小值53，所以221543mm，即22(31)(43)0mm，解得32m或32m。一题多解解答此题还有其它的方法吗？从例2可以看出解决恒成立的不等式问题，还可以考虑如下方法：直接转化为求原函数的最值()0fx恒成立min()0fx，()0fx恒成立max()0fx四、恒成立问题直接转化为函数最值问题五、把不等式恒成立问题转化为函数图象问题【理论阐释】若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数的图象在函数图象的上方（若是小于则在下方）fxgxyfxygx若不等式logsin2(01)axxaa且对于任意x∈(0,]4都成立，求a的取值范围.典例导悟三【解析】作出函数sin2yx的图象，由题意知在x∈(0,4］上，函数logayx的图象总在函数sin2yx的图象的上方.01a。作直线x=4，与logayx和sin2yx的图象分别交于A、B两点，为保证logayx在区间（0，4］上的图象在sin2yx图象的上方，不难从图中得到其条件是点A在点B的上方。当x=4时，logsin(2)1log44aaa,又01a，得4a1。1.函数2()ln21fxxxmx在(0,)上单调递增，求实数m的取值范围。2.设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．练习检测2min()0xxexax思路1最值求解思维受阻！解：f(x)＝xex－x－ax2，若当x≥0时，f(x)≥0，即xex－x－ax2≥0x＝0时，f(x)≥0显然成立。x0时1xeax思路2分离变量思维受阻！变中求解提升思维(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，思路3变形求解只需要g(x)≥0若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时，g(x)0，即f(x)0.综上，a的取值范围为(－∞，1]．令g(x)＝ex－1－ax，∵g′(x)＝ex－a.2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。课堂小结