4.2.2提公因式法

4.2提公因式（2）学习目标1、会用整体思想提取公因式进行因式分解;2、会对底数为相反数的两项变形，再因式分解.1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；2.公因式的系数是多项式各项3.字母取多项式各项中都含有的____________;4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即_________.提公因式法因式分解的一般步骤：系数的最大公约数相同的字母最低次幂找一找：下列各式中的公因式是什么？);()()1(yxbyxa;3()3()2(）ayax);3(5)3(6)3(pnpm);(2)(7)4(nmynmx);()()()5(bazbaybax)(yx)(yx)3(a)3(a)3(p)3(p)(nm)(nm)(ba)(ba)(ba例1.(1)把a(x–3)+2b(x–3)分解因式.解：a(x–3)+2b(x–3)=(x–3)(a+2b).这里(x-3)可以看做一个整体，公因式是多项式.2211yxyx(2)把分解因式解：原式=y(x+1)(1+xy+y)1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.2.是数学中一种重要而且常用的思想方法.练一练：1、x(a+b)+y(a+b)2、3a(x-y)-(x-y)3、6(p+q)2-12(q+p)解:原式=(a+b)(x+y)解:原式=(x-y)(3a-1)解:原式=6(p+q)(p+q-2)判断：下列各式哪些成立？223322)())(5()4()())(3()())(2()1(abbaabbaxyyxxyyxbaab你能得到什么结论？成立的有：（2）、（4）、（5）探索结论你能得到什么结论？;)())(1(nnabba.)()(;)()()2(121222nnnnabbaabba当底数互为相反数时，它们偶数次幂相等，奇数次幂互为相反数.做一做:请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立,(1)2-a=(a-2)(2)y-x=(x-y)(3)b+a=(a+b)--+(4)-m-n=(m+n)-(5)–s2+t2=(s2-t2)(6)(b-a)2=(a-b)2(7)(b-a)3=(a-b)3-+-()()axybxy(1)()();axybyx(1)()()axybyx解：()xy()yx()()xyab()bxy例2把下列各式因式分解：互为相反数.26()[()2]mnmn326()12()mnmn原式2)(12nm)2()(62nmnm22nmmn32(2)6()12();mnnm练一练：（1）a(m-2)+b(2-m)（2）(y-x)2+3(x-y)；（3）mn(m-n)-m(n-m)2.(m-2)(a-b)(x-y)(x-y+3)m(m-n)(2n-m)122)()(4nnabybax）（)]([)(2abyxabn解：原式)(2aybyxabn）（32)2(2)2(5nmnmn解：原式)34()2()2(25222nmnmnmnnm）（913134,322原式∵nmnm（6）已知a-b=3，a+c=-5，则代数式（ac-bc)+(a2-ab)值为（）A、-15；B、-2；C、-6；D、6A(7)先把下列各式因式分解，再求值：①a(a－b－c)－b(a－b－c)＋c(b＋c－a)，其中a－1＝b＋c；②x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2，其中x＋y＝1，xy＝－12.解：(1)原式＝a(a－b－c)－b(a－b－c)－c(a－b－c)＝(a－b－c)(a－b－c)＝(a－b－c)2.∵a－1＝b＋c，∴a－b－c＝1，∴原式＝12＝1.解：原式＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]＝－2xy(x＋y)．∵x＋y＝1，xy＝－12，∴原式＝－2×(－12)×1＝1.提公因式法因式分解的应用(1)提公因式法因式分解的应用主要涉及化简求值．(2)其基本的方法是先通过因式分解将多项式化简，然后再代入求值．*(8)因式分解：x2－2x＋(x－2)＝____________.(x＋1)(x－2)[解析]原式＝x(x－2)＋(x－2)＝(x＋1)(x－2)．*(9)因式分解(a＋b)(a＋b－1)－a－b＋1的结果为________________．[解析](a＋b)(a＋b－1)－a－b＋1.＝(a＋b)(a＋b－1)－(a＋b－1)．＝(a＋b－1)(a＋b－1)．＝(a＋b－1)2.(a＋b－1)2例3已知(19x－31)(13x－17)－(17－13x)(11x－23)可因式分解成(ax＋b)(30x＋c)，其中a，b，c均为整数，求a＋b＋c的值．解：(19x－31)(13x－17)－(17－13x)(11x－23)＝(19x－31)(13x－17)＋(13x－17)(11x－23)＝(13x－17)(30x－54)＝(ax＋b)(30x＋c)，∴a＝13，b＝－17，c＝－54，∴a＋b＋c＝－58.公因式是每一项都含有的公共的因式，公因式可以是________，也可以是________．公因式为多项式的，如果形式相同可以直接提取，公因式互为相反数的，提取“－”号后把公因式变成相同的，再提取公因式．单项式多项式因式分解：3x(a－b)－6y(b－a)．解：3x(a－b)－6y(b－a)＝(a－b)(3x－6y)．上面的答案正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确答案．解：不正确，有两处错误：一是结果中还有公因式3没有提尽，二是提取(a－b)时后面一项没有变号．正解：3x(a－b)－6y(b－a)＝3x(a－b)＋6y(a－b)＝3(a－b)(x＋2y)．