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第29讲锐角三角函数与解直角三角形1．锐角三角函数的概念考试内容考试要求在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.c正弦余弦正切sinA＝∠A的对边斜边＝accosA＝∠A的邻边斜边＝bctanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab它们统称为∠A的锐角三角函数2.特殊角三角函数值考试内容考试要求三角函数30°45°60°asinα122232cosα322212tanα3313函数的增减性：(0°α90°)(1)sinα，tanα的值都随α增大而增大；(2)cosα的值随α增大而减小．3.解直角三角形考试内容考试要求解直角三角形的定义在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．c解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：(1)三边关系：a2＋b2＝c2；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边与角关系：sinA＝cosB＝ac，cosA＝sinB＝bc，tanA＝ab；(4)sin2A＋cos2A＝1.解直角三角形的题目类型(1)已知斜边和一个锐角；(2)已知一直角边和一个锐角；(3)已知斜边和一直角边(如已知c和a)；(4)已知两条直角边a、b.拓展三角形面积公式：S△＝12ah＝12absinC.4.解直角三角形的应用常用知识考试内容考试要求仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角．a坡度和坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝h∶l.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面越陡．方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．考试内容考试要求基本思想转化思想：(1)在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理．若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜边)，再运用定义求解．(2)在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况．c1．(2017·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是()A.35B.45C.34D.432．(2017·温州)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝1213，则小车上升的高度是()A．5米B．6米C．6.5米D．12米3．(2016·宁波)如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为____________________m(结果保留根号)．4．(2017·丽水)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15m，AB＝2.70m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1m)．(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)【问题】如图，在△ABC中，AC＝23，BC＝2.(1)若∠C＝Rt∠，求sinA；(2)若∠A＝30°，求AB；(3)通过(1)(2)解答，请你总结解一般三角形的思路，以及解直角三角形的方法．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理三角函数的定义，以及解直角三角形的方法．类型一锐角三角函数的概念例1(2015·丽水)如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是()A.BDBCB.BCABC.ADACD.CDAC【解后感悟】本题是锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．1．(1)(2015·山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是()A．2B.255C.55D.12(2)(2015·扬州)如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为()A．①②B．②③C．①②③D．①③2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝32；②cosB＝12；③tanA＝33；④tanB＝3，其中正确的结论是(只需填上正确结论的序号)．类型二特殊角的三角函数值例2式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是()A．23－2B．0C．23D．2【解后感悟】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住一些特殊角的三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．3．(1)(2015·滨江)下列运算：sin30°＝32，8＝22，π0＝π，2－2＝－4，其中运算结果正确的个数为()A．4B．3C．2D．1(2)计算6tan45°－2cos60°的结果是()A．43B．4C．53D．5(3)在△ABC中，若|sinA－12|＋(cosB－12)2＝0，则∠C的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°类型三解直角三角形的几何应用例3(2015·湖北)如图，AD是△ABC的中线，tanB＝13，cosC＝22，AC＝2.求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．【解后感悟】本题运用的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用，注意数形结合和转化思想的应用．4．(1)(2015·荆门)如图，在△ABC中，∠BAC＝Rt∠，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连结BD，则tan∠DBC的值为()A.13B.2－1C．2－3D.14(2)如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝S2D．S1＝85S25．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，则AB的长为.类型四解直角三角形中一个常见的模型例4(2016·绍兴)如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2.(1)求∠CBA的度数；(2)求出这段河的宽(结果精确到1m，备用数据2≈1.41，3≈1.73)．【解后感悟】本题考查的是解直角三角形的应用－－方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键；通过基本图形与实际问题的结合，揭示图形的基本数量关系，利用方程思想求解．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．如图1是基本图形，若C，D，B在同一直线上，且∠ABC＝Rt∠，∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a，AB＝x，则有x＝BD·tanβ，x＝CB·tanα，∴xtanα－xtanβ＝a，∴x＝a1tanα－1tanβ.变式为如图2，结论是x＝a1tanα＋1tanβ.6．(2016·河南)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)类型五解直角三角形的测量问题例5(2016·黄石)如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰的高度CF.(2≈1.414，CF结果精确到米)【解后感悟】本题考查了解直角三角形的应用－－斜坡问题：解题涉及到的量是坡度与坡角，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝h∶l的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝tanα.7．(1)(2016·重庆)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)()A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米(2)(2017·绍兴)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.①求∠BCD的度数；②求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)类型六解直角三角形的实际应用例6如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：(单位：cm)伞架DEDFAEAFABAC长度363636368686(1)求AM的长；(2)当∠BAC＝104°时，求AD的长(精确到1cm)．备用数据：sin52°≈0.788，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.【解后感悟】本题是解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形；注意把实际问题转化为数学问题．8．(2015·衢州)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间．．．处有一条60cm长的绑绳EF，tanα＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是()A．144cmB．180cmC．240cmD．360cm9．(2017·台州)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84)10．(2016·台州)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC＝30cm，AC＝22cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)【课本改变题】教材母题－－浙教版八下，第82页某学校的校门是伸缩门(如图1)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图2)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图3)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848)．【方法与对策】解应用题的基本思路是构建数学模型．解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要涉及三角形的实际问题，把它抽象到解直角三角形中进行解答，之后再还原成实际问题．这种题型是中考常用的考查方式．【把一般三角形当作直角三角形来解】如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得△A′B′C′，使B′与C重合，连结A′B，则tan∠A′BC′的值为________．