高中数学A版1.7.2定积分在物理中的应用优秀课件

前面我们已经介绍了定积分在几何方面的应用，我们看到，在利用定积分解决几何上诸如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积等问题时，关键在于写出所求量的微元.新课导入定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子.定积分的物理应用包括变速直线运动作功、水压力和引力等.本节仅给出变速直线运动作功、水压力和引力问题的例子.1.7.1定积分在物理中的应用定积分在物理中有着极其广泛的应用.在物理问题中,常遇到的物理量具有连续性与可加性.要求出某物理量,重要的是找到然后d()d,fxx()d.bafxx教学目标知识与能力能利用定积分的几何意义，结合变速运动和变力作功等实例，运用定积分“四步曲”，熟悉定积分解决实际问题的步骤.过程与方法掌握定积分的概念、几何意义和性质.掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的方法.培养逻辑思维能力和进行知识迁移的能力.情感态度与价值观激发学习定积分的热情.强化参与意识.培养严谨的学习态度.教学重难点重点结合案例加深理解定积分的概念以及在物理学科中的应用.难点用定积分解决物理问题的变量问题.变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数在时间区间[a,b]上的定积分，即v=v(t)(v(t)0)≥bas=v(t)dt例1一辆汽车的速度-时间曲线如图所示.求汽车在这1min行驶的路程.o102030405060102030CBAs/ts/m/v解：由速度-时间曲线可知：3t,(0t0)30,(10t40)1.5t+90(40t60)≤≤≤≤≤≤v(t)=o102030405060102030CBAs/ts/m/v因此汽车在这1min行驶的路程是：104060010402104026001040s=3tdt+30dt+(-1.5t+90)dt33=t+30t+(-t+90t)24=1350(m)变力做功由物理学知道，如果一个物体在恒力F作用下，使得物体沿力的方向作直线运动，物体有位移s时，力F对物体所作的功为：W=F*s探究如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b(ab),那么如何计算变力F(x)所作的功呢？baW=F(x)dx与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题可以得到分割、近似代替、求和、取极限如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉倒离平衡位置lm处，求克服弹力所作的功.lQF例2解：在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力F(x)与弹簧拉伸(或压缩)的长度成正比，即F(x)=kx,其中常数k是比例系数.由变力做功公式，得到12l20011W=kxdx=kx=kl(J).22答：克服弹力所作的功为.21kl(J)2两个质量分别为，相距为r的质点间的引力12m,m221rmmkF万有引力定律若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接利用上述公式计算.例3设有一长为l质量为M的均匀细杆，另有一质量为m的质点和杆在一条直线上，它到杆的近端距离为a，求细杆对质点的引力.取坐标系如图，取x为积分变量0l·maxdxx[x,x+dx][0,l]该小段细杆的质量为Mdxl若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆a处的质量为m质点的引力.dxaxlmMkFl02)(1)(alakmMdxaxlMmkdF2)(解：如图建立坐标系[x,x+dx][0,l]22mMdF=kdxl(x+a)x2222mMx(dF)=kdxl(x+a)x+a2F1Fy2222mMa(dF)=kdxl(x+a)x+al1322022222mMxÞF=kdxl(x+a)kmM=[a+l-a]ala+ll23222202kmMa1kmMF=dx=laa+l(x+a)将半径为的半球形水池内注满水,若将满池水全部抽出，需作多少功？R例40Rxyxdxx分析：吸水作功是水的重力在作功问题，此问题可理解成将水一层一层吸出的.取坐标原点在水平面，轴铅直向下，如果设所对应的薄层的体积为圆柱体体积，那么在上以直代曲，便得体积元素从而得到重力作功的功元素.x[0,R][x,x+dx][x,x+dx](2)分割:对把区间所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到0Rxyxdxx解:(1)确定积分变量和积分区间：建立如图所示的坐标系.则半圆的方程为取x为积分变量,则22y=R-x.[0,].xRx[0,R],[x,x+dx][0,R],],[dxxx222dV=πydx=π(R-x)dx.由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为所以功的元素为γ=1,22dW=γπx(R-x)dx(3)求定积分：将满池水全部抽出所作的功为RR2222400πW=γπx(R-x)dx=πx(R-x)dx=R4求交流电的平均功率,其中表示电流的最大值.0I(t)=Isinωt0I解：显然,只须计算在一个周期上的平均功率.这时周期，功率其中R是所使用的电器的电阻.从时刻t到时刻t到时刻t+⊿t所做功的微分为.一个周期所做功为2πT=ω2P(t)=IR220sindIRtt220=IRsinωt例52200sind2TIRWPttT201.2IR222220000sind(1cos2)d24IRIRssss于是，平均功率为：T2200=IRsinωtdt,W课堂练习1、用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？n2、将直角边各为a及2a的直角三角形薄片垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力？思考题一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？3、一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，底半径为3米，池内盛满了水全部吸出，需作多少功？4、课堂答案1、解：设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf第一次锤击时所作的功为101)(dxxfw,2k.)(0hhdxxfw设次击入的总深度为厘米hn次锤击所作的总功为nhhkxdxw0,22kh依题意知，每次锤击所作的功相等．1nwwh22kh,2kn,nh.1nn次击入的总深度为n第次击入的深度为n解：建立坐标系如图xoa2a2a面积微元,)(2dxxadxxaaxdP1)(2)2(dxxaaxPa))(2(20.373a2、该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关．思考题解答3、解：建立坐标系如图取x为积分变量，]5,0[xxoxdxx5取任一小区间],[dxxx,这一薄层水的重力为dx238.9功元素为,2.88dxxdw4、dxxw2.885050222.88x3462(千焦)．教材练习答案52533s=2t+3dt=t+3t=22(m)1、424003W=3x+4dx=x+4x=40J22、