微积分基本公式

1§6.3微积分基本定理用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的方法原函数存在定理牛顿-莱布尼茨公式2原函数存在定理()[,6.,]3fxab设函数在上连续则定理变上限积分()()dxaΦxftt,[,]ab在上可导且d()()d(),d[,]xaΦxfxattbfxx()()dxaΦxfttabxyo)(xfyx()Φx3证,),(baxxxΦxxΦxΦx)()(lim)(0.)(d)(dd)(xfttfxxΦxaxttfttfxaxxaxd)(d)(lim00()dlimxxxxfttxxttfttfttfxaxxxxaxd)(d)(d)(lim0,),(,baxxx使得取4abxyoxx)(xx0()d()limxxxxfttΦxx由积分中值定理得()xxx在与之间0x时,当0lim()xf()()Φxfx0()()limxfxΦxx而)(xf在],[ba上连续,,x5,),(bax证.)()(xfxΦ,ax若,),(,0baxxa取同上可证;)()(afaΦ,bx若,),(,0baxxb取同上可证.)()(bfbΦ证毕。)(d)(dd)(xfttfxxΦxa6原函数存在定理如果)(xf在],[ba上连续，则变上限积分函数该定理告诉我们,连续函数一定有原函数.)(d)(dd)(xfttfxxΦxattfxΦxad)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.7，)(d)(ddxfttfxxabxttfxd)(dd)(d)(ddxattfx.)()]([xxf变限积分函数的求导：xbttfxd)(dd，)(xf设)(x在],[ba上可导,则，设xattfxΦd)()(证()()d[()]xafttΦx则，)(d)(ddxattfx所以)()]([xxΦ.)()]([xxf8更一般地，设)(x，)(x在],[ba上可导,则)()(d)(ddxxttfx.)()]([)()]([xxfxxf由)()(d)(xxttf)()(d)(d)(xaxattfttf即可得结论。92d)(ddxattfx.2)(2xxf例1求下列变限积分函数的导数.,dsin)(1xttxf;sin)(xxf,d1)(22xttxf;1)(2xxf32d)(ddxxttfx.2)(3)(223xxfxxf,de)(sin12xttxf;cose)(2sinxxfx10设)(xf为连续函数,,d)()(ln1xxttfxF则)(xF2111(ln)fxfxxx例2)(lnxf1x1fx21x11例3求下列极限.2021d)(arctanlim)1(xttxx分析：这是型未定式，应用洛必达法则.221)(arctanlimxxxx原式.42解12例3求下列极限.xxttxxsindcoslim)2(202000分析：这是型未定式，20202dcoslimxttxx原式.1解等价无穷小替换xxxx2cos2lim4040coslimxx13例3求下列极限.21cos0delim)3(2xtxtx00分析：这是型未定式，xxxx2)sin(elim2cos0原式解.e212elim2cos0xx14设xattfaxxxFd)()(2，其中)(xf是连续函数,则)(limxFax.证)(limxFax例4axttfxxaaxd)(lim2axttfaxaaxd)(lim2)(lim2xfaax.)(2afa15证2)(d)()()()(axttfxfaxxFxa只要证明0d)()()(xattfxfax即可.,d)()()()(xattfxfaxxg令)()()()()(xfxfaxxfxg则,0设)(xf在],[ba上连续,在),(ba内可导,且0)(xf,记xattfaxxFd)(1)(.证明:在),(ba内0)(xF.例5)()(xfax16,d)()()()(xattfxfaxxg令)()()(xfaxxg则,0而,0)(ag故当),(bax时,.0)()(agxg所以)(xg单调不增,17由积分中值定理，，))((d)(axfttfxa),(xa2)())(()()()(axaxfxfaxxF而0)(xf,)(xf单调不增,)()(fxf,0)(xF，),(bax.或证,)(d)()()()(2axttfxfaxxFxa设)(xf在],[ba上连续,在),(ba内可导,且0)(xf,记xattfaxxFd)(1)(.证明:在),(ba内0)(xF.例5,)()(axfxf18定理2(微积分基本公式)设函数)(xf在],[ba上连续,)(xF是)(xf的任意一个原函数,则又ttfxΦxad)()(也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数，],[bax证6.2.2牛顿—莱布尼茨公式)()(d)(aFbFxxfba,)()(CxFxΦ19,)()(CxFxΦ,0)(aΦ而，baxxfbΦd)()(,d)()(ttfxΦxa所以)(d)(bΦxxfba)()(aΦbΦ])([])([CaFCbF.)()(aFbF一般把)()(aFbF简记成.)(baxFbabaxFxxf)(d)(—牛顿—莱布尼茨公式20一个连续函数在区间],[ba上的定积分可用它的任意一个原函数在区间],[ba端点上的值来表示.注意当ba时，上述公式仍成立.babaxFxxf)(d)(上述公式通常称为微积分基本公式,它揭示了定积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法.21例1求.d)1sincos2(20xxx原式20)cossin2(xxx.23解解20d)(xxf1021d5d2xxx.6xyo12，，，215102)(xxxxf.d)(20xxf例2设求2110d)(d)(xxfxxf5102x22例3求.d2cos10xx0d|cos|2xx2/2/0dcos2dcos2xxxx.22原式解2/2/0sin2sin2xx23计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解0dsinxxA0cosx.2例4xyo24例5设f(x)是连续函数,且,d)(2)(10xxfxxf,d2dd)(101010xIxxxxf,d)(10Ixxf设,2)(Ixxf于是两边在[0,1]上积分,,221II.1)(xxf求f(x).即，21I解25练习：P43~44习题六(A)5.(1),(4)6.(2),(4),(6)11.13.单数题