2018年考研数学一试题答案

WORD资料.可编辑专业技术.整理分享2017考研数学一答案及解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若函数1cos(),0,0xfxxaxbx在0x连续，则（）。A.12abB.12abC.0abD.2ab【答案】A【解析】由连续的定义可得-+00lim()lim()(0)xxfxfxf，而+++20001()1cos12lim()limlim2xxxxxfxaxaxa，-0lim()xfxb，因此可得12ba，故选择A。（2）设函数()fx可导，且()'()0fxfx，则（）。A.(1)(1)ffB.(1)(1)ffC.|(1)||(1)ffD.|(1)||(1)ff【答案】C【解析】令2()()Fxfx，则有'()2()'()Fxfxfx，故()Fx单调递增，则(1)(1)FF，即22[(1)][(1)]ff，即|(1)||(1)ff，故选择C。WORD资料.可编辑专业技术.整理分享（3）函数22(,,)fxyzxyz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)nr的方向导数为（）。A.12B.6C.4D.2【答案】D【解析】2{2,,2}gradfxyxz，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0}gradf，则有122{4,1,0}{,,}2||333fugraduu。（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()vvt（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线2()vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位：s），则（）。A.010tB.01520tC.025tD.025t【答案】C【解析】从0到0t时刻，甲乙的位移分别为010()tvtdt与020()tvtdt，由定积分的几何意义可知，25210(()()201010vtvtdt，因此可知025t。（5）设为n维单位列向量，E为n维单位矩阵，则（）。WORD资料.可编辑专业技术.整理分享A.TE不可逆B.TE不可逆C.2TE不可逆D.2TE不可逆【答案】A【解析】因为T的特征值为0（n-1重）和1，所以TE的特征值为1（n-1重）和0，故TE不可逆。（6）已知矩阵200210100021,020,020001001002ABC，则（）。A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C不相似【答案】B【解析】A和B的特征值为2,2,1，但是A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所依A可对角化，B不可，因此选择B。（7）设A，B为随机事件，若0()1,0()1PAPB，且(|)(|)PABPAB的充分必要条件是（）。A.(|)(|)PBAPBAB.(|)(|)PBAPBAC.(|)(|)PBAPBAD.(|)(|)PBAPBA【答案】A【解析】WORD资料.可编辑专业技术.整理分享由(|)(|)PABPAB得()()()()()1()()PABPABPAPABPBPBPB，即()()()PABPAPB，因此选择A。（8）设12,,(2)nXXXnL来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，则下列结论中不正确的是（）。A.21()niiX服从2分布B.2112()nniXX服从2分布C.1()niiXX服从2分布D.2()nX服从2分布【答案】B【解析】~(0,1)iXN，故221()~()niiXn，1~(0,2)nXXN，因此1~(0,1)2nXXN，故221()~(1)2nXX，故B错误，由2211()1niiSXXn可得，2221(1)()~(1)niinSXXn，1~(0,)XNn，则有()~(0,1)nXN，因此22()~(1)nX。二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）已知函数21()1fxx，则(3)(0)f=_________。【答案】0【解析】246222001()1()(1)1nnnnnfxxxxxxxL，因此230'''()(1)2(21)(22)nnnfxnnnx，代入可得(3)(0)0f。WORD资料.可编辑专业技术.整理分享（10）微分方程''2'30yyy的通解为y=_________。【答案】12(cos2sin2)xecxcx【解析】由''2'30yyy，所以2230，因此21i，因此通解为：12(cos2sin2)xecxcx。（11）若曲线积分221Lxdyaydyxy在区域22{(,)|1}Dxyxy内与路径无关，则a=_________。【答案】－1【解析】设2222(,),(,)11xayPxyQxyxyxy，因此可得：22222222,(1)(1)PxyQaxyyxyxxy，根据PQyx，因此可得1a。（12）幂级数111(1)nnnnx在区间(1,1)内的和函数()Sx=_________。【答案】21(1)x【解析】1112111(1)[(1)]'()'1(1)nnnnnnxnxxxx。（13）设矩阵101112011A，123,,为线性无关的3维向量，则向量组123,,AAA的秩为_________。【答案】2【解析】因为123123(,,)(,,)AAAA，而101101101112011011011011000A，因此()2rA，所以向量组123,,AAA的秩2。（14）设随机变量X的分布函数为4()0.5()0.5()2xFxx，其中()x为标准正态WORD资料.可编辑专业技术.整理分享分布函数，则EX=_________。【答案】2【解析】222224()222(4)222111()'()0.50.5222110.50.5222xxxxfxFxeeee因此可得2EX。三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）设函数(,)fuv具有2阶连续偏导数，(,cos)xyfex，求2002|,|xxdydydxdx。【答案】'01|(1,1)xdyfdx，2''''011122|(1,1)(1,1)(1,1)xdyfffdx【解析】因为(,cos)xyfex，所以''12sinxdyfefxdx，因此'01|(1,1)xdyfdx2''''''''''11121212222(sin)(sin)sincosxxxxdyfefxefefefxxfxdx因此得：2''''011122|(1,1)(1,1)(1,1)xdyfffdx（16）（本题满分10分）求21limln(1)nnkkknn【答案】14【解析】由定积分的定义可知，1201limln(1)ln(1)nnkkkxxdxnn，然后计算定积分，WORD资料.可编辑专业技术.整理分享21112120000111ln(1)ln(1)(1)ln(1)|(1)221xxxdxxdxxxdxx1011(1)24xdx（17）（本题满分10分）已知函数()yx由方程333320xyxy确定，求()yx的极值。【答案】极大值为(1)1y，极小值为(1)0y。【解析】对333320xyxy关于x求导得：2233'33'0xyyy，令'0y得233x，因此1x，当1x时，1y，当1x时，0y。对2233'33'0xyyy关于x再次求导得：2266(')3''3''0xyyyyy，将'0y代入可得26(33)''0xyy当1x时，1y时，代入可得''1y，当1x时，0y时，代入可得''2y，因此有函数的极大值为(1)1y，极小值为(1)0y。（18）（本题满分10分）设函数()fx在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f，0()lim0xfxx，证明：（Ⅰ）方程()0fx在区间(0,1)内至少存在一个实根；（Ⅱ）方程2()'()('())0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】（Ⅰ）证：因为0()lim0xfxx，由极限的局部保号性知，存在(0,)c，使得()0fc，而(1)0f，由零点存在定理可知，存在(,1)c，使得()0f。（Ⅱ）构造函数()()'()Fxfxfx，因此(0)(0)'(0)0,()()'()0FffFff，因为0()lim0xfxx，所以'(0)0f，由拉格朗日中值定理知，存在(0,1)，使得(1)(0)'()010fff，所以'(0)'()0ff，因此根据零点定理可知存在1(0,)，使得1'()0f，所以111()()'()0Fff，所以原方程至少有两个不同实根。WORD资料.可编辑专业技术.整理分享【解析】略（19）（本题满分10分）设薄片型物体S时圆锥面22zxy被柱面22zx割下的有限部分，其上任一点的弧度为222(,,)9uxyzxyz，记圆锥与柱面的交线为C，（Ⅰ）求C在xOy平面上的投影曲线的方程；（Ⅱ）求S的质量M。【答案】（Ⅰ）22(1)10xyz；（Ⅱ）64。【解析】（Ⅰ）C的方程为2222zxyzx，投影到xOy平面上为22(1)10xyz（Ⅱ）222(,,)9MuxyzdSxyzdS，221()()2zzdSdxdyxy因此有2cos22232202214492218cos643Mxydxdydrdrd。（20）（本题满分11分）三阶行列式123(,,)A有3个不同的特征值，且3122，（Ⅰ）证明()2rA；（Ⅱ）如果123，求方程组Ax的通解。【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）(1,2,1)(1,1,1),TTkkR。【解析】（Ⅰ）证：因为A有三个不同的特征值，所以A不是零矩阵，因此()1rA，若()1rA，那么特征根0是二重根，这与假设矛盾，因此()2rA，又根据3122，所以()2rA，因此()2rA。（Ⅱ）因为()2rA，所以0Ax的基础解系中只有一个解向量，又3122，即12320，因此基础解系的一个解向量为(1,2,1)T。因为123，故Ax的特解为(1,1,1)T，因此Ax的通解为(1,2,1)(1,1,1),TTkkR。WORD资料.可编辑专业技术.整理分享（21）（本题满分11分）设222123123121323(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx在正交变换xQy下的标准型为221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q。【答案】2a，正交矩阵3263