数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算

第三章矩阵特征值和特征向量计算转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。,的非零解工程实践中有许多问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可o1的特征值由它的特征方程A()det()0IA的根确定。o2设为的特征值，A求齐次线性方程组()0IAx便得到的属于的特征向量。A(),设是阶方阵ijnnAan如果数和维非零向量满足nx，Axx的一个则称，为特征值A对称为矩阵应xA于。的特征向量瓮剥擒省膨黑桶利贸吨舀蹈畅糖恃澡鸟遥妓甄聋遂扑纪浴迭闻梳介韵展剑数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算§3.1.幂法和反幂法§3.1.1幂法幂法用于求矩阵A的按模最大的特征值及相应的特征向量。一、算法构造及收敛性分析1设阶实方阵满足：条件nnAo121,,,;有个线性无关的特征向量nAnxxxo122,,,的个线性无关的特征向量对应的特征值满nAnxxx12足。n下面通过分析由迭代格式()(1)0,1,2,;初始值任意选取。(3.1)kkuAuku()1产生的序列的收敛情况来构造计算和它对应的特征ku1向量的计算方法。x窒打黄圣谷吊苛塑隙倪均撰凡擞攀斜冗薛绞缎姜土硅积澈题吾伞宁诗汰撵数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算(0)1122,nnuxxx设则21112211kkknnnxxx110,(2,3,,)iin不妨设由得()(1)2(2)(0)kkkkuAuAuAu1122=kkknnAxAxAx111222kkknnnxxx1limkiiikx赛诲密焕猖蓟皋疑鱼禄同励帮坡桅械区秃弥檬茁设久像捶羹识参屏踢厨掐数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算()(0)(3.1),kkuAu1由于迭代公式本质上是计算于,因此称(+1)()kkuu与对应分量近似成比例，比例因子正好近似等这种迭代法为幂法。()11111121knkkkiiiiuxxx(+1)+1()1111kkkuxu同样，我们还有。()1ku可把作为与相应的特征向因此，量的近似。k当充分大时，有藩思再湛涪涣棉戚扁挂秧琶腋汰翌茎休坪诵昭霍无珍磅夕饶胎的凭吝禹缕数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算归一化处理与实际计算方法(1)(1)(1)(0)()(1)1,2,;kkkkkuyukuuAy任意选取。2112211112112211kknknnkknnnxxxxxx(1)2(2)(0)()(1)(2)1(0);kkkkkkkAuAuAuuuAuAu分析：()(0)()()(0)ykkkkkuAuuAu矢棚臣衷毋果濒镰鬼倦更借贸堂不任烂纵繁形揣叁胁竭咏扩锣粪躁紧秦峦数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算()()111111yykkkxkx当充分大时，有，即可近似地作()1y=1k为对应的特征向量，且特征值的计算()(1)(1)1TT(1)()(1)(1)11,kkkkkkkuAyyyuyy方法由于从而有，T(1)()1T(1)(1)kkkkyuyy崇培予吱最水韭战姚瞄矣扮肪闻养匝钱驭蔬潍搅池抓秸眩耙淬仍完米子功数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算(1)kky1最后作为的近似值，以作为其对应的特征向量。3.1迭代算法(1)(1)(1)kkkuyu()(1)kkuAyT(1)()T(1)(1)=kkkkkyuyy1,2,;k1kkk终止条件：。(0)u任意选取。植糯馏蚀荒酪辽苇壮旗阅吏怕津冻搓搐入默贷卷瑰哗醇懊顷吧地无施抨暴数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算2(1)(1)T(1)(1)(0)()(1)T(1)()1(1)3.2()1,2,;=kkkkkkkkkkkkkkuyuukuuAyyuy1迭代算法使用范数任意选取。终止条件：。最后作为的近似值，以作为其对应的特征向量。狠榔悬闰簇联滇人氦异壤芜樱瘪垄镭席螺殊盲弯松挨篓钡研斩闽予年砧扩数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算(1)(1)1(1)(1)(1)(0)T()(1)()()()12(1)()1(1)3.3max1,2,;,,,=signkkrjjnkkkrkkkkknkkkrrkkkkkhhuyhkuuAyhhhhhy1迭代算法使用范数任意选取。终止条件：。最后作为的近似值，以作为其对应的特征向量。佛键耕显祈蝉世蜀迄卸鄂试收析封除回拱涛舀良肢蹲涸摧浮植院烽歼阁抉数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算1(0)7612621324121251(1,0,0),10.kkTkAx例1：用幂法求矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量。取012181910.24077170.36177250.00000020.00000010-0.8427010-0.5878803-0.4472137-0.44721360-0.4815434-0.7235450-0.8944271-0.89442726.000000022.304347844.999995444.9999981123kkxxx3.2解：应用算法的结果通千诚旦冲象赵咯即性猫鲍它助反诱摘咯妆沦默斩浚捷康尽察据蔽揩牟则数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算012121310.28571430.50000000.00004200.00001680-1.0000000-0.8125000-0.5000419-0.50001680-0.5714286-1.0000000-1.0000000-1.00000006.000000016.714285744.999998945.0000002123kkxxx3.3应用算法的结果曳震都船痛甭鹅洼士汽洋铆玩毙下尘甫警惩茅捶候微梅午鲁生包挽辞黑脚数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算(+1)()()=kkkuAuu1也有.这表明对这种情况幂法仍然有效。121mmn时幂法是否有效？12前面假定。若按模最大的特征值有多个，即有112,2mmAn是重根，即矩阵仍条有件个线性无关的特征向量。此时有()11111111kkkkmnmmmmnnuxxxx1,,mk显然，只要不全为零，当充分大时，就有()111()kkmmuxx111mmxxA因也是矩阵相应于的特征向量，所以，()1kku当充分大时，仍可近似地作为对应的特征向量，同样村旦磷票淹亿熔夸弘亭郁斯逼阑晶严域亭移斜坊警城粳疗短医梅斌菠痘虚数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算(1)()()kkkxAxx如果按迭代所得向量序列呈有规律的摆A综上可知，当的特征值分布为12n或12112mmnm()1时，用幂法可以计算出及相应的特征向量。幂法计算简便易行，它是求大型稀疏矩阵按模最大特An动，则应考虑用别的方法求解。此外，当矩阵无个线性无关的特征量时，幂法收敛很慢，亦应考虑改用其他方法。征值的常用方法。陕嚏永荫自掩庞盾奔邀悦韶啃褒介蚌伦腻粟供沤眉麦滔倘罪榴液汰久津牡数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算§3.1.2反幂法,AnnxA设为阶非奇异矩阵，为的特征值与相应反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。的特征向量，即111AxxxAxAxx1AA此式表明，的特征值是的特征值的倒数，而相应的1A特征向量不变。因此，若对矩阵用幂法，即可计算1AA出的按模最大的特征值，其倒数恰为的按模最小的特征值。这就是反幂法的基本思想。迄碟笆稚茶磊恿迪行瑚犀泌头罢跪梧瞎桃顽煤抡燕粮棵绑祁秦潦掠龟疗覆数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算o12o121211,,,;2,,,nnnnnnAAnxxxAnxxx设阶实方阵满足：有个线性无关的特征向量的个线性无关的特征向量对应的特征值满足。n则用反幂法计算及相应的一个特征向量的步骤如下:1()(1)()1(1)()kkkkkAAAuuuAuuAA因为的计算比较麻烦，而且往往不能保持矩阵的一些好性质（如稀疏性），因此，反幂法在实际运算时以求解方程组代替幂法迭代求得，每迭代一次要解一个线性方程组。由于矩阵在迭代过程中不变，故当的阶数不是很大时，可考虑对先进行三角分解，则每次迭代只要解两个三角形方程组。租雄少桅薄露混锻逸坡鉴吵押泊你学据虽凌推葱胸荡颠剧躁佯缨邵下旁趴数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算(-1)(-1)(-1)(-1)()T(1)()T(1)(1)1()1235=16kkkkkkkkkkkkknnkAALUuRuyuLzyUuzyuyyy(0)k对进行三角分解任取非零向量做初始特征向量；;4解方程组，；当时，以作为的近似值，作相应的近似特征向量。()3.4算法反幂法杜肄此豹盈闺迪槽雌验夕感钨察帜阎治伶较坯填俞醛寨票巩涕农堵匝糠笛数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算**********0()()iiiiiAAIAI用带原点移位的反幂法来修正特征值，并求相应的特征向量是非常有效的。设已知的一个特征值的近似值为，因接近，一般有故是矩阵的按模最小的特征值，且由上式可知，比值／较小。因此，对用反幂法求一般收敛很快，通常只要经过二、三次迭代就能达到较高的精度。反幂法的一个应用楷丙廉羚司恬件壶贷凛撤贯苹钱鄙省屿村凌庭荚朱松刹骸匡讽喇勇腊平坦数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算*(0)*(-1)(-1)(-1)(-1)()T(1)()T(1)(1)1*()1.(),2.()35=163.5ijkkkkkkkkkkkkkiikAauNAILUuyuLzyUuzyuyyyk输入近似值，初始向量,误差限，最大迭代次数。作三角分解;4解方程组，；当时，以+作为的近似算值法：，作相应的近似特征向量。抒中釉寐概接簧碍善遥差穴葵雪咀谩砚迭庐煎模褥敏姨竞虐菱革殷钓膛拜数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算(0)210021012(0,0,1).2.930.93