1.3.1-函数的单调性与导数(2课时)

1.3.1函数的单调性与导数单调性的定义对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．判断函数单调性有哪些方法？定义法图象法oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间ox1y1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？新课引入2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为(锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。•定理：•一般地，函数y＝f（x）在某个（a，b）区间内可导：•如果恒有f′(x)0，则f（x）是增函数。•如果恒有f′(x)0，则f（x）是减函数。•如果恒有f′(x)=0，则f（x）是常数。利用导数的符号来判断函数单调性:课本思考思考1：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？'()0fx()fx()fx是常数函数。2121()()yfxfxxxx1122()A(,())B(,())yfxxfxxfx表示过函数图象上两点、的直线斜率。几何意义：关系：12,()xxyfx当区间()的长度很小时，平均变化率可以近似地反映函数在这个区间的单调性。思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。()fx例1、已知导函数的下列信息：'()fx当1x4时，0;当x4,或x1时，0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。'()fx'()fx'()fx()yfxxyo14xyo14xyo14xyo14ABCD()yfx()yfx()yfxD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负1．应用导数求函数的单调区间(选填:“增”,“减”,“既不是增函数,也不是减函数”)(1)函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。(2)函数y=x2－3x在[2，+∞)上为_____函数，在(－∞,1]上为______函数。基础训练：增增减例2.确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。762)(23xxxfxyo解：函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)xxxf126)(2'令6x2－12x0,解得x2或x0∴当x∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；当x∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数令6x2－12x0,解得,0x2∴当x∈(0,2)时，f(x)是减函数。知识点：定理：一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：如果恒有，则f(x)在是增函数。如果恒有，则f(x)是减函数。如果恒有，则f(x)是常数。步骤：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)0以及f’(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。f’(x)0f’(x)0f’(x)＝0练习:判断下列函数的单调性(1)f(x)=x3+3x;(2)f(x)=x2-2x-3;(3)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;P26练1例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.)(xfy)0,(a如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.),0(b),(b),(aP26练习2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xf设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C1.3.1函数的单调性与导数含参问题322(),,,30()()()()()fxxaxbxcabcabfxRABCD函数其中为常数，当时，在上()增函数减函数常数既不是增函数也不是减函数A求参数的取值范围325例1：若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围ax-xx-13a在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f'x()0(或0)f'x()0(或0)2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.322f'xax()例2：解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增31()0,即在（0，1]上恒成立f'xa-xx31gxxgxgmax而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-11a-320fxax-xxafxa练习1已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围。,3[)2例3：求证：方程只有一个根。102xsinx12110201002f(x)x-sinx,x(,)f'(x)cosxxxfxxsinxx.f()在（，）上是单调函数，而当时，（)=0方程有唯一的根方程根的问题综合训练cossin335()(,)()(,2)()(,)()(2,3)2222yxxxABCD1.函数在下面哪个区间内是增函数():(cossin)(cos)coscos(cos)cossinsin0,sin0yxxxxxxxxxxxxxxxxx解∵∵(,2),0,sin0,sin0xxxxxB33(,)332.函数y=a(x3-x)的减区间为则a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a1)33,33(A3.已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：2()422fxaxx，因为fx在区间1,1上是增函数，所以()0≥fx对1,1x恒成立，即220≤xax对1,1x恒成立，解之得：11≤≤a所以实数a的取值范围为1,1．C∵)()(xgxf,∴()()0fxgx,∴(()())()()0fxgxfxgx∴()()fxgx在,ab上单调递增,∴()()()()fxgxfaga,∴()()()()fxgagxfa4.设)(xf、)(xg在,ab上可导，且)()(xgxf，则当bxa时，有（）()()()Afxgx()()()Bfxgx()()()()()Cfxgagxfa()()()()()DfxgbgxfbC证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x2.当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.3.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。231,fxax解:0,,)afx若则在(-恒正,fx只有一个单调区间,与题意不符.211133,333fxaxaxxaaa若a0,则0,],[,)afx11时有三个单调区间,(-,--3a-3a,11为它的减区间,为它的增区间.-3a-3a提示:运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小练习:已知1x，求证：ln(1)xx