四旋翼动态特性

1四旋翼飞行器动态特性与控制方法RandalW.BeardBrighamYoungUniversity2008.2.19日21、参考系本节介绍在不同参考系和坐标系下，飞行器空间朝向的描述方法以及坐标系之间的转化关系。使用多种坐标系是很必要的，主要基于以下原因：牛顿运动方程是建立在以四旋翼飞机为中心的坐标系之上。气动力和力矩是作用在机架上面。加速度计和速率陀螺仪等机载传感器测量的是相对于机身框架的信息。全球定位系统测量的是相对于惯性坐标系的位置，地面速度和航向角。巡航地点和飞行轨迹等这些飞行任务要求，通常是在惯性坐标系下指定的。此外，地图信息也是基于惯性坐标系的。不同参考坐标系之间转换可以通过两种基本的途径：旋转和平移。1.1节描述了旋转矩阵以及其在坐标系转换中的用法。1.2节描述了用于微型飞行器系统的具体坐标系。1.3节我们推导出了科里奥利公式，它是坐标系平移和旋转变换的基础。1.1旋转矩阵我们先考虑一下图一所示的两个坐标系统。（注：右手坐标系下，从指定的旋转轴的负半轴向正半轴望去，右旋为顺时针旋转，左旋为逆时针旋转）3向量P可以在𝐹1和𝐹2坐标系下分别表示为：P=𝑝𝑥0𝑖0+𝑝𝑦0𝑗0+𝑝𝑧0𝑘0P=𝑝𝑥1𝑖1+𝑝𝑦1𝑗1+𝑝𝑧1𝑘1令这两种描述方法相等得到：𝑝𝑥0𝑖0+𝑝𝑦0𝑗0+𝑝𝑧0𝑘0=𝑝𝑥1𝑖1+𝑝𝑦1𝑗1+𝑝𝑧1𝑘1两侧同时点乘𝑖1，得到:𝑝𝑥1=𝑝𝑥0∗𝑖0∙𝑖1+𝑝𝑦0∗𝑗0∙𝑖1+𝑝𝑧0∗𝑘0∙𝑖1同理可得𝑝𝑦1和𝑝𝑧1的表达式，写成矩阵形式：𝑃1=[𝑝𝑥1𝑝𝑦1𝑝𝑧1]=[𝑖1∙𝑖0𝑖1∙𝑗0𝑖1∙𝑘0𝑗1∙𝑖0𝑗1∙𝑗0𝑗1∙𝑘0𝑘1∙𝑖0𝑘1∙𝑗0𝑘1∙𝑘0][𝑝𝑥0𝑝𝑦0𝑝𝑧1]从图一的几何关系中我们得到：𝑃1=𝑅01𝑃0(1)其中：𝑅01=[cos⁡(𝜃)sin⁡(𝜃)0−sin⁡(𝜃)cos⁡(𝜃)0001]𝑅01表示从坐标系𝐹0到𝐹1的一个旋转矩阵。用类似的方法处理，坐标系围绕Y轴右旋得到：4𝑅01=[cos⁡(𝜃)0−sin⁡(𝜃)010sin⁡(𝜃)0cos⁡(𝜃)]坐标系围绕X轴右旋得到：𝑅01=[1000cos⁡(𝜃)sin⁡(𝜃)0−sin⁡(𝜃)cos⁡(𝜃)]观察三个旋转矩阵发现，负的正弦项总是出现在只包含0和1的那一行的上面。上面方程中的矩阵𝑅01只是具有更一般性质的旋转矩阵类中的几个例子，旋转矩阵具有以下性质：（𝑅𝑎𝑏)−1=（𝑅𝑎𝑏)𝑇=𝑅𝑏𝑎（正交矩阵）𝑅𝑏𝑐𝑅𝑎𝑏=𝑅𝑎𝑐det(𝑅𝑎𝑏)=1公式（1）的推导过程表明向量p是一个常量，而且新的坐标系𝐹1是通过将𝐹0右旋θ角度获得的。下面，我们将推导出一个旋转公式，它可以把向量p围绕另一个向量n左旋大小为μ的角度。如下图所示：向量p围绕单位向量n左旋μ角度得到向量q，其中p和n的夹角为∅。5根据几何关系得出：𝑂Q⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂N⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑁W⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+WQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗向量𝑂N⃗⃗⃗⃗⃗⃗的模为p向量在单位向量n方向上的投影，方向和n相同，因此：𝑂N⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(p∙n)n向量𝑁W⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的模为|𝑁Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos(μ)=|𝑁P⃗⃗⃗⃗⃗|cos(μ)，方向与(p−𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗)相同。因此可以得到：𝑁W⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(p−(p∙n)n)|𝑁P⃗⃗⃗⃗⃗||𝑁P⃗⃗⃗⃗⃗|cos(μ)𝑁W⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(p−(p∙n)n)cos(μ)向量𝑊Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的模为|𝑁Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sin(μ)=|𝑁P⃗⃗⃗⃗⃗|sin(μ)，与p向量和n向量都垂直，并且注意到：|𝑁P⃗⃗⃗⃗⃗|=|p|sin⁡(∅)，因此：|𝑊Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=𝑝×𝑛|𝑝|sin⁡(∅)|𝑁P⃗⃗⃗⃗⃗|sin(μ)|𝑊Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=−𝑛×𝑝∗sin(μ)最终我们得到：6q=(1−cos(μ))(p∙n)n+cos(μ)p−sin⁡(μ)(n×p)这就是旋转方程。下面我们举个例子：向量p围绕Z轴左旋θ角度得到向量q，根据旋转方程得：q=(1−cos(θ))(p∙k)k+cos(θ)p−sin(θ)(k×p)q=(1−cos(θ))𝑝𝑧0[001]+cos(𝜃)[𝑝𝑥0𝑝𝑦0𝑝𝑧0]−sin⁡(𝜃)[−𝑝𝑦0𝑝𝑥00]q=[cos(𝜃)−sin(𝜃)0sin(𝜃)cos(𝜃)0001]𝑝=𝑅01𝑝我们注意到旋转矩阵𝑅01可以用两种不同的方式来理解。第一种解释是：它把一个固定的向量p从参考系𝐹0中的坐标表示转换到参考系𝐹1中的坐标表示，𝐹1是𝐹0经过右旋得到的。第二种解释是：在同一参考系之下，它将向量p经过左旋得到一个新的向量q。向量右旋可以通过使用(𝑅01)𝑇。1.2四旋翼参考坐标系对于四旋翼来说有几种坐标系统是我们感兴趣的。在这一节中，我们将定义并且介绍一下几种坐标系统：惯性坐标系，载体坐标系，7载体-1坐标系，载体-2坐标系和机身坐标系。在这本书中，我们假设地面是平的，并且不及地球的自转：这个假设对于四旋翼来说是有效的。1.2.1惯性坐标系𝑭𝒊惯性坐标系是固定在地球上面的坐标系统，原点定义在起始位置。如下图所示：单位向量𝑖𝑖指向北面，𝑗𝑖指向东面，𝑘𝑖指向地心。1.2.2载体坐标系𝑭𝒗载体坐标系的原点位于四旋翼的质心，坐标轴指向与惯性坐标系的相同。也就是，单位向量𝑖𝑣指向北，𝑗𝑣指向东，𝑘𝑣指向地心。如下图所示：81.2.3载体-1坐标系𝑭𝒗𝟏载体-1坐标系𝐹𝒗𝟏的原点和载体坐标系𝐹𝒗是相同的，即重心。然而，如果机体没有正在翻转或俯仰，𝐹𝑣1会围绕𝑘𝑣通过偏航角φ来旋转，那么𝑖𝑣1将指向机头，𝑗𝑣1将指向右翼。如下图所示：从𝐹𝑣到𝐹𝑣1的转化：𝑝𝑣1=𝑅𝑣𝑣1(𝜑)𝑝𝑣𝑅𝑣𝑣1(𝜑)=[cos⁡(𝜑)sin⁡(𝜑)0−sin⁡(𝜑)cos⁡(𝜑)0001]91.2.4载体-2坐标系𝑭𝒗𝟐载体-2坐标系的原点仍然是重心，载体-2坐标系可以通过使载体-1坐标系围绕𝑗𝑣1右旋俯仰角θ得到。如果翻滚角为零，那么𝑖𝑣2从机头穿出，𝑗𝑣2从右翼穿出，𝑘𝑣2从机腹穿出，如下图所示：从𝐹𝑣1到𝐹𝑣2的变换方程为：𝑝𝑣2=𝑅𝑣1𝑣2(𝜃)𝑝𝑣1，其中：𝑅𝑣1𝑣2(𝜃)=[cos⁡(𝜃)0−sin⁡(𝜃)010sin⁡(𝜃)0cos(𝜃)]1.2.5机身坐标系𝐅𝒃以𝑖𝑣2为旋转轴，将载体-2坐标系右旋翻滚角∅便得到了机身坐标系。因此，机身坐标系的原点仍然是重心，𝑖𝑏从机头穿出，𝑗𝑏从右翼穿出，𝑘𝑏从机腹穿出。机身坐标系如下图所示：从𝐹𝑣2到𝐹𝑏的变换方程为：𝑝𝑏=𝑅𝑣2𝑏(∅)𝑝𝑣2，其中：𝑅𝑣2𝑏(𝜃)=[1000cos⁡(∅)sin⁡(∅)0−sin⁡(∅)cos(∅)]10最后，我们得到了从载体坐标系到机身坐标系的转换公式为：𝑅𝑣𝑏(∅,𝜃,𝜑)=𝑅𝑣2𝑏(∅)𝑅𝑣1𝑣2(𝜃)𝑅𝑣𝑣1(𝜑)=[1000cos⁡(∅)sin⁡(∅)0−sin⁡(∅)cos(∅)][cos⁡(𝜃)0−sin⁡(𝜃)010sin⁡(𝜃)0cos(𝜃)][cos⁡(𝜑)sin⁡(𝜑)0−sin⁡(𝜑)cos⁡(𝜑)0001]=[𝑐𝜃𝑐𝜑𝑐𝜃𝑠𝜑−𝑠𝜃𝑠∅𝑠𝜃𝑐𝜑−𝑐∅𝑠𝜑𝑠∅𝑠𝜃𝑠𝜑+𝑐∅𝑐𝜑𝑠∅𝑐𝜃𝑐∅𝑠𝜃𝑐𝜑+𝑠∅𝑠𝜑𝑐∅𝑠𝜃𝑠𝜑−𝑠∅𝑐𝜑𝑐∅𝑐𝜃]1.3科氏方程在这一节当中，我们简单推导了一下著名的科里奥利方程。（后面这一句由于没有加题注所以没有翻译）如下图所示，给定了两个参考坐标系𝐹𝑖和𝐹𝑏。若𝐹𝑖表示惯性坐标系，𝐹𝑏代表四旋翼的机身坐标系。假设向量p正在机身坐标系中移动并且机身坐标系正在相对于惯性坐标系旋转和平移。我们的目标是找到在惯性坐标系中向量p对时间的微分。我们将通过两个步骤得到近似方程。首先假设𝐹𝑏没有相对于𝐹𝑖旋11转。将在惯性坐标系中p对时间的微分记为：𝑑𝑑𝑡𝑖𝑝，于是𝑑𝑑𝑡𝑖𝑝=𝑑𝑑𝑡𝑏𝑝。（注：这个公式没有明白，可能涉及到了向量微分的知识。向量微分得到的结果仍然是一个向量的话，就没有疑问了）另一方面，假设p在机身坐标系中是固定的而机身坐标系相对于惯性坐标系旋转，另𝑠̂为顺时旋转轴，δ∅是右旋的角度。则：p+δp=(1−cos(−δ∅))𝑠(𝑠∙𝑝)+cos(−𝛿∅)𝑝−sin⁡(−𝛿∅)𝑠×𝑝两边同时除以δt并且取小角度近似得：δpδt≈𝛿∅δt𝑠×𝑝取δt→0时的极限并且定义机身坐标系相对于惯性坐标系的角速度为𝜔𝑏/𝑖=𝑠∅̇，上式变为：𝑑𝑑𝑡𝑖𝑝=𝜔𝑏/𝑖×𝑝因为微分是一个线性运算，因此结合两个方面的结果得到：𝑑𝑑𝑡𝑖𝑝=𝑑𝑑𝑡𝑏𝑝+𝜔𝑏/𝑖×𝑝这就是科里奥利方程。122、运动学和动力学在这一节中我们将得到刚体的运动学和动力学表达式。尽管这些表达式对于刚体都使用，我们将使用航空学中典型的符号和坐标系。特别是，2.1节中我们定义的符号将会被用作四旋翼飞行器的状态变量。在2.2节中我们将推导运动学表达式，在2.3节中我们将推导动力学表达式。2.1四旋翼状态变量四旋翼的状态变量是下面的12个量：𝑝𝑛是飞行器在惯性坐标系𝐹𝑖中𝑖𝑖轴上的位置。𝑝𝑒是飞行器在惯性坐标系𝐹𝑖中𝑗𝑖轴上的位置。H是飞行器在惯性坐标系𝐹𝑖中𝑘𝑖轴上的位置。U是速度向量在机身坐标系𝐹𝑏中𝑖𝑏轴上的分量。V是速度向量在机身坐标系𝐹𝑏中𝑗𝑏轴上的分量。W是速度向量在机身坐标系𝐹𝑏中𝑘𝑏轴上的分量。∅是相对于𝐹𝑣2定义的翻滚角。θ是相对于𝐹𝑣1定义的俯仰角。φ是相对于𝐹𝑣定义的偏航角。P是在机身坐标系𝐹𝑏中𝑖𝑏轴测得的翻滚率。q是在机身坐标系𝐹𝑏中𝑗𝑏轴测得的俯仰率。R是在机身坐标系𝐹𝑏中𝑗𝑏轴测得的偏航率。13状态变量如图所示，位置坐标（𝑝𝑛,𝑝𝑒,ℎ）是在惯性坐标系中给出的，正的h定义在惯性坐标系的负Z半轴上。速度（u,v,w）和角速度（p,q,r）是在机身坐标系中给出的。欧拉角（∅，θ，φ）分别是相对于载体-2、载体-1、载体坐标系给出的。2.2四旋翼运动学状态变量（𝑝𝑛,𝑝𝑒,ℎ）是在惯性坐标系中给出的，而速度u，v，w是在机身坐标系中给出的，因此位置和速度之间的关系式：𝑑𝑑𝑡[𝑝𝑛𝑝𝑒−ℎ]=𝑅𝑏𝑣[𝑢𝑣𝑤]=(𝑅𝑣𝑏)𝑇[𝑢𝑣𝑤]=[𝑐𝜃𝑐𝜑𝑠∅𝑠𝜃𝑐𝜑−𝑐∅𝑠𝜑𝑐∅𝑠𝜃𝑐𝜑+𝑠∅𝑠𝜑𝑐𝜃𝑠𝜑𝑠∅𝑠𝜃𝑠𝜑+𝑐∅𝑐𝜑𝑐∅𝑠𝜃𝑠𝜑−𝑠∅𝑐𝜑−𝑠𝜃𝑠∅𝑐𝜃𝑐∅𝑐𝜃][𝑢𝑣𝑤]绝对角度（∅，θ，φ）和角速率p，q，r之间的关系也很复杂，因为它们是在不同的坐标系中定义的。我们需要将角速率p，q，r和∅̇，θ̇，φ̇联系起来。因为∅̇，θ̇，φ̇很小，所以14𝑅𝑣2𝑏(∅̇)=𝑅𝑣1𝑣2(θ̇)=𝑅𝑣𝑣1(φ̇)=𝐼我们可以得到：（这个等式还没有明白。目前的理解：因为速率是一个平均值，所以可以把转动分为三个部分，只要维持终止状态不变就可以。）[𝑝𝑞𝑟]=𝑅𝑣2𝑏(∅̇)[∅̇00]+𝑅𝑣2𝑏(∅)𝑅