高数曲率习题0307

1习题3-7曲率1.求椭圆2244xy在点0,2处的曲率.解.0,28200xyyy,20,282202yyyy,故32221yKy.2.对数曲线lnyx上哪一点的曲率半径最小?求出该曲率半径.解.1yx,21yx,33222211yxKyx,由224221201xxKx,得22x,且当22x时20K,当22x时20K,故当22x时,K最大,即在22,ln22处曲率半径332R最小.3.求摆线sin021cosxatttyat的曲率,问t为何值时曲率最小,并求最小曲率以及相应的曲率半径.解.1cosxat,sinxat,sinyat,cosyat,故3222181cosxyxyKatxy,当t时min14Ka,曲率半径4Ra.4.设抛物线2yaxbxc在0x处与曲线xye相切,且有相同的曲率半径,求,,abc.解.1c,1b,211288aa.5.设一飞机沿抛物线路径20.0001yx作俯冲飞行,设在原点处速度为200m/s,飞行员体重70kg,求此时座椅对飞行员的反力F.解.原点处曲率0.0002K,曲率半径5000R,于是向心力为22mvmvFmgFmgRR,得270200709.81246N5000F.6.一重5吨的汽车以每小时21.6公里的速度在跨度10米,拱高0.25米的抛物线型拱桥上行驶,求它越过桥顶时对桥面的压力.2解.设桥面的方程为2yax,代入5x,0.25y,得0.01a,桥顶处曲率20.02Ka,曲率半径150RK米,于是向心力为2mvmgFR,得245400NmvFmgR.