第三章--结构地震反应分析与抗震验算3—3-多自由度弹性体系的地震反应分析

§3—3多自由度弹性体系的地震反应分析多自由度弹性体系的运动方程多自由度体系的自由振动地震反应分析的振型分解法3.3.1、多自由度弹性体系的运动方程惯性力弹性恢复力阻尼力)]()([txtxmfigiIi+=-)](.....)()([txktxktxkfniniiri+++=2211-)](......)()([txctxctxcfniniici+++=2211-三力平衡01=++crfff得)()()()(txmtxktxctxmginjjijnjjijii-=++==∑∑11上式表示的是一组方程，也就是说n自由度体系，其运动微分方程组应由n个方程组成，用矩阵形式表示为：(i=1,2,……n)3.3.1、多自由度弹性体系的运动方程式中，[M]为体系质量矩阵；[C]为体系阻尼矩阵；…[K]为体系刚度矩阵。gxMxKxCxM}]{[}]{[}]{[}]{[1=++Tnxxxx][}{，，，…=21Tnxxxx][}{，，，…=21Tnxxxx][}{，，，…=21𝑥为体系相对水平加速度向量𝑥为体系相对水平速度向量𝑥为体系相对水平位移向量3.3.1、多自由度弹性体系的运动方程以上方程组就是多自由度弹性体系在水平地震作用下的运动方程。求解上述方程组，一般采用振型分解法。该法需要利用多自由度弹性体系的振型，须由分析体系的自由振动得到。为此，须先讨论多自由度体系的自由振动问题。)()()()(txmtxktxctxmginjjijnjjijii-=++==∑∑11gxMxKxCxM}]{[}]{[}]{[}]{[1=++3.3.2多自由度体系的自由振动一、自由振动方程研究多自由度体系的自由振动，是为了研究其自身的震动特性。不考虑阻尼的影响，其自由振动方程为0∑1=+=njjijiitxktxm)()(0=+}]{[}]{[xKxM或者根据方程的特点，可设微分方程组的解为)sin(}{}{φtωφx+=Tnφφφφ].....[}{，，21=其中是各个质点自由振动的振幅。3.3.2多自由度体系的自由振动代入方程组，经整理后得：)sin(}{}{φtωφx+=将0121212111=+++nnφkφkφωmk.....)(-0222222121=+++nnφkφωmkφk.....)(-022211=+++nnnnnnφωmkφkφk)(......-……………………………………}{}{][][02=φMωK）（-用矩阵表示为上式称为特征方程3.3.2多自由度体系的自由振动二、自振频率由线性代数理论可知，特征方程有非零解（发生振动）的条件是：系数行列式等于零，即}{}{][][02=φMωK）（-特征方程02=][][MωK-上式称为多自由度体系的动力特征方程，它是𝜔2的n次代数方程，将由n个𝜔解，将解由小到大排列𝜔1，𝜔2…..𝜔𝑛,𝜔𝑖为体系的一个自由振动频率，一个n自由度体系，有n个自振频率，即有n种自由振动方式或状态。称𝜔𝑖为体系第i阶自振频率。特例：两个自由度体系运动方程11212111ymykyk-=[phone]ymykyk-=+设方程的特解为)sin()sin(2211tXytXym1)(1tym2)(2ty如图所示两个自由度体系[]{}[]{}{}0=+ykym或0121212111=+XωmXkXk-0222222121=+XωmXkXk-代入运动方程得：用矩阵表示为[][]{}{}02=Xmωk)(-[][]02=mωk-特例：两个自由度体系22211211kkkkK2100mmM21222211211200mmkkkkMK)()()(2112221121222112221kkkkmkmkmm0解上方程得2121122211222211122211122212121mmkkkkmkmkmkmkaacbbxcbxax24022,12的解为注：方程3.3.2多自由度体系的自由振动三、振型多自由度体系以某一阶频率𝜔𝑖自由振动时，将有一特定的振幅𝜑𝑖与之相应，它们之间应满足动力特征方程：}{}{][][02=iφMωK）（-Tininiiiφφφφφ],,.....,[}{121-=Tinininiiniinφφφφφφφ],/,...../,/[1121-==11niinφφ}{向量𝜑𝑖中各元素的值是确定的，均与时间无关，且为常数。这就表明，对应于各个自振频率，体系在相应自由振动过程中的任意时刻，各质点的位移比值(或振动曲线形状)始终保持不变，改变的只是位移大小和方向。这种保持质点位移比值不变的振动形式(或形状)称为主振型。3.3.2多自由度体系的自由振动当体系按第一频率ω1振动时的振动形式称为第一主振型(简称第一振型或基本振型)，而对应于第二频率ω2的振动形式称为第二主振型(简称第二振型)……对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次代入式}{}{][][02=iφMωK）（-可求得相应的n个主振型。n自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由n个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解可写为：∑∑11njjjinjjiiφtωφtxtx==+==)sin()()(主振型是弹性体系的重要固有特征，它们完全取决于体系的质量和刚度的分布，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应地就有多少个主振型。3.3.2多自由度体系的自由振动在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。由于某一主振型在振动过程中不仅各质点间的位移始终保持一定的比值并同时达到各自最大的幅值，且各质点间的速度也保持这同一比值，因此，只有各质点间初位移的比值和各质点间初速度的比值均与该主振型的各质点间位移振幅比值相同时，也就是在这样特定的初始条件下，才会出现这种振型的振动形式。12112111kkωmφ-=}{12112212kkωmφ-=}{两个自由度体系振型例.求图示体系的频率、振型.已知:.;mmmkkk====21210222221122111=ωmkkkωmk--m12k1EI1EI1km20121212111=+XωmXkXk-0222222121=+XωmXkXk-kkkk22111=+=kkk-==2112kk=22两个自由度体系的例子02222=kmωkmωk---))((mkω/.61801=mkω/.61812=618016181122122111.;.-==XXXX11.61810.6181X2X0222=ωmkkkωmk--618.111X618.012X【例3-4】三层剪切型结构如图3-14所示，求该结构的自振圆频率和振型。【解】该结构为3自由度体系，质量矩阵和刚度矩阵分别为（刚度的求法见本题后附图）kgM31010005.10002mNK/106.06.006.08.12.102.136先由特征值方程求自振圆频率，令B＝ω2／600得或B3－5.5B2＋7.5B－2＝0由上式可解得B1＝0.351B2＝1.61B3＝3.54从而由得ω1＝14.5rad／sω2＝31.3rad／sω3＝46.1rad／s011015.13202252BBBMKB600由自振周期与自振频率的关系T＝2π／ω，可得结构的各阶自振周期分别为T1＝0.433sT2＝0.202sT3＝0.136s•由式（3-76）得8.38960006006.14841200012005.2579)(21MK648.0301.060006.1484120012005.25791121108.389648.0301.06000•为求第一阶振型，将ω1＝14.5rad／s代入•代入式（3-75）校核将各阶振型用图形表示，如图3-15所示。图中反映振型具有如下特征：对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点）。利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否1648.0301.011601.0676.02则第一阶振型为同样可求得第二阶和第三阶振型为157.247.233.3.2多自由度体系的自由振动以上两式所表示的关系，称为主振型的正交性，它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量（刚度）与其在两个不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。其物理意义是，某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。0=}]{[}{iTjφMφji≠0=}]{[}{iTjφKφji≠四．主振型的正交性3.3.3地震反应分析的振型分解法振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加以分解，并利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问题，在求得了各单自由度体系结构的地震反应后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反应。振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法。多质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程组：)()()()(txmtxktxctxmginjjijnjjijii∑∑11=++==3.3.3地震反应分析的振型分解法将体系任一质点i的位移𝑥𝑖(𝑡)按主振型展开∑1njjijiφtqtx==)()(∑1njjijiφtqtx==)()(∑1njjijiφtqtx==)()(∑1njjjφtqx==}){(}{或将上式求导得速度和加速度如下：式中𝑞𝑗(𝑡)称为广义坐标，与时间有关。代入多自由度体系运动方程)()()()(txmtxktxctxmginjjijnjjijii-=++==∑∑113.3.3地震反应分析的振型分解法得：gjjjjjjjxγqωqωζq22=++∑∑121nijiinijiijφmφmγ===式中这样，经过变换（矩阵的正交性），便将原来运动微分方程组分解成n个以广义坐标的独立微分方程了。它与单质点体系在地震作用下的运动微分方程基本相同，它的解为：∫0tjτtωζgjjjτdτtωeτxωγtqjj)(sin)()()(---=或者)()(ttqjjj∫01tjτtωζgjjτdτtωeτxωtjj)(sin)()(Δ)(---=比较上式和杜哈梅积分可见，相当于阻尼比、自振频率的单质点体系在地震作用下的位移。这个单质点体系称为与振型j相应的振子。)(Δtjjζjω3.3.3地震反应分析的振型分解法3.3.3地震反应分析的振型分解法求得各振型的广义坐标𝑞𝑗(𝑡)(j=1，2，…，n)后，就可求出原体系的位移反应：∑∑11njjijjnjjijiφtγφtqtx====)(Δ)()(∑1njjjjiφtγtx==}){(Δ)}({或者上式表明：多质点弹性体系质点i的地震反应等于各振型参与系数𝛾𝑗与该振型相应的振子的地震位移反应的乘积，再乘以该振型质点i的相对位移，然后再把它总和起来。这种振型分解法不仅对计算多质点体系的地震位移反应十分简便，而且也为按反应谱理论计算多质点体系的地震作用提供了方便条件。)(tqj*jM)(*tPj*jK折算体系