奈魁斯特稳定判据

第五节奈奎斯特稳定判据主要内容幅角定理奈奎斯特稳定判据在波德图上判别系统稳定性奈奎斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且还能够指出闭环系统的相对稳定性，并可进一步提出改善闭环系统动态响应的方法，对于不稳定的系统，奈氏判据还能像劳斯判据一样，确切的回答出系统有多少个不稳定的根(闭环极点)。因此，奈氏稳定性判据在经典控制理论中占有十分重要的地位，在控制工程中得到了广泛的应用。奈氏判据的理论基础是复变函数理论中的幅角原理。由于闭环系统的稳定性决定于闭环特征根的性质，因此运用开环特性研究闭环的稳定性，首先应该明确开环特性和闭环特征式的关系，并进而寻找和闭环特征根性质之间的规律性。对于复变函数1212()()()()()()()mnKszszszFsspspsp为的零点，为的极点。(1,2,,)izim()Fs(1,2,,)jpjn()Fs函数是复变量的单值函数，可以在整个平面上变化，对于其上的每一点，除个有限极点外，函数都有惟一的一个值与之对应。的值域，也构成一个复平面，称之为平面。平面上的每一个点，极点除外，依照所给的函数关系，将映射到平面上的相应点。其中平面上的全部零点都映射到平面上的原点；平面上的极点都映射到平面上的无限远点；平面上除了零、极点之外的普通点，都映射到平面上除原点之外的有限点。s()Fssn()Fs()Fs()Fsss()Fs()Fss()Fss()Fss1、幅角原理11()()1()1()()11()()ijmnijijmjszijFsinjspjjmjszspiinjjKszeFsFsespeKszesp幅角为11()()()mnijijFsszsp用向量表示平面上的点在平面上的映射，有()Fss()Fs平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线。当沿顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在平面上映射出一条封闭曲线。s()FssF()Fsss()Fs2()sFss围线既不包围的零点也不包围极点，当沿围线顺时针变化一周时，因子和的幅角变化量都为零。()Fs2z0p(2)s1(0)ssss围线不包围原点。()(2)(0)0FsssF1、围线既不包围零点也不包围极点s()(2)(0)360Fsss映射在平面上顺时针包围原点一周。F()Fs2、围线只包围零点不包围极点s围线包围的零点，不包围极点，当沿顺时针变化一周时，因子和的幅角变化分别为和。()Fs2z0p(2)s1(0)ssss3600当围线只包含的个零点时，在平面上映射应顺时针包围原点次。s()FsZ()FsZF围线包围的极点，不包围零点时，则当沿顺时针绕行一周时，因子和的幅角变化分别为和。()Fs0p(2)s1(0)ssss36003、围线只包围极点不包围零点s()(2)(0)360Fsss映射在平面上逆时针包围原点一周。F()Fs当围线只包含的个极点时，在平面上映射应逆时针包围原点次，或顺时针包围原点次。s()FsP()FsPFFP4、围线包围个零点和个极点sPZ如果围线包围的个零点和个极点，那么，当沿顺时针绕行一周时，应顺时针包围原点次。即顺时针包围原点次数。s()FsZPssFZPFNZP2、奈奎斯特稳定判据为了能采用开环频率特性判断闭环系统稳定性，首先应当建立开环传递函数与闭环传递函数特征根的关系。典型的反馈系统的结构图如下所示：()Gs()Hs()Cs()Rs设1212()()()()()()NsNsGsHsDsDs开环传递函数1212()()()()()()()kNsNsGsGsHsDsDs闭环传递函数211212()()()()1()()()()()()DsNsGssGsHsDsDsNsNs令11221212()()(),()()()()()FsDsDsFsDsDsNsNs1212121212()()()()()()()11()()()()()kDsDsNsNsNsNsFsGsDsDsDsDs开环特征多项式闭环特征多项式1212()()()()()()()nnKszszszFsspspsp闭环传递函数的极点开环传递函数的极点问题：当知道开环传递函数的极点，也就是的极点位置时，如何判断在平面的右半部有无零点的问题，也就是闭环传递函数在右半平面有无极点的问题。()Fss()1()kFsGss①正虚轴：，频率；②半径为无穷大的右半圆：，；③负虚轴：，频率；sj:0ejsR,:22Rsj:0假设没有为零的极点（开环系统不含有积分环节）()FsNZP1、表示在平面上围线沿顺时针包围原点的次数。由于和只相差一个常数1，所以只要将平面上的虚轴沿实数轴向右平移一个单位，就可以得到平面坐标系，原来在平面上的映射围线就变成了平面上的映射围线。N()1()kFsGsF()kGs()Fs()Fs()kGs()FsFG()kGs平面上围线对原点的包围()FsF平面上围线对点的包围()kGsG(1,0)j在右半平面上的零点数为，极点数为，则根据幅角原理，当沿奈奎斯特路径顺时针移动一周时，映射到平面上的围线顺时针包围原点的次数()1()kFsGssZPsF()Fs()kGs2、平面上的围线就是开环频率特性的极坐标图。()kGsG()kGj假设开环传递函数为0型系统1212()()()()()()()gmknKszszszGsspspsp()kGsnmsj()0kGs（1）当沿虚轴变化时，将其代入中即得开环频率特性（包括正频率部分和负频率部分）。（2）当沿无限大半径的半圆部分运动时，，，可得或。()kGjs()kgGK基于幅相特性的奈奎斯特稳定判据：1、对于开环稳定的系统，在右半平面上无极点，闭环系统稳定的充分必要条件是奈奎斯特曲线不包围点。2、对于开环不稳定的系统，在右半平面上有个极点，闭环系统稳定的充分必要条件是奈奎斯特曲线当从变到时，以逆时针方向包围点次。3、若闭环系统是不稳定的，则该系统在右半平面上的极点数为，为奈奎斯特曲线以顺时针方向包围点的次数。()kGss(1,0)j()kGssP(1,0)jPsZNPN(1,0)j基于幅相特性的奈奎斯特稳定判据：在极坐标图上，绘制由的开环系统幅相曲线，闭环系统位于平面右半平面的极点个数为，则0sZ2ZPN(1,0)j—开环传递函数位于右半平面的极点个数。—开环幅相特性曲线围绕点的圈数，逆时针包围为正，顺时针包围为负。PNs是闭环系统位于平面右半平面的闭环极点的个数。显然，闭环系统是稳定的，则。s0ZZ计算开环系统幅相曲线包围点的圈数，仅仅与幅相曲线穿越实轴区间的次数有关。把自上向下穿越这个区间的次数表示为，把自下向上穿越这个区间的次数表示为，则(1,0)j(,1)NN1正穿越负穿越NNN(,1)如果穿越是从负实轴上区间上开始的，记为半次正（或半次负）穿越。ReIm00-10P（a）(a)P=0,N=0Z=P-2N=0所以，闭环系统稳定。ReIm00-10P（b）(b)P=0,N=N+-N-=-1Z=P-2N=2所以，闭环系统不稳定。例：下图给出来三个开环传递函数不含有积分环节的奈奎斯特（幅相）曲线，试判断系统的稳定性。ReIm00-11P（c）(c)P=1,N=N+-N-=1/2Z=P-2N=0所以，闭环系统稳定。3、开环系统含有积分环节时奈奎斯特稳定判据的应用对于含有积分环节的系统，开环传递函数为1111()(1)()()(1)mmgiiiiknvnvvvjjiiKszKsGssspss为使奈奎斯特路径不经过原点处的极点，但仍能包围整个右半平面，以原点为圆心做一半径为无穷小的右半圆绕过原点处的极点。s①正虚轴：，频率；②半径为无穷大的右半圆：，；③负虚轴：，频率；④半径为无穷小的右半圆：，sj:0ejsR,:22Rsj:0ejsR0,:22Re,0jsRR当时，频率特性曲线趋于无穷远处。当时，频率特性曲线趋于无穷远处。频率特性曲线及其镜像在无限远处的连接线就是奈奎斯特路径中半径为无穷小的半圆在平面上的映射。()kGs001111()(1)()()(1)mmgiiiiknvnvvvjjiiKszKsGssspss1100e10(e1)lim()lim(e)(e1)lim(e)jmjiiknvRRsRjvjjijjvjvRKRGsRRKeeR1100e10(e1)lim()lim(e)(e1)lim(e)jmjiiknvRRsRjvjjijjvjvRKRGsRRKeeR1::2222vv奈奎斯特曲线从到顺时针转过。00radv1v①奈奎斯特曲线从到顺时针转过。001802v②奈奎斯特曲线从到顺时针转过。00360当开环包含积分环节时，只需将幅相特性曲线相应频率，从点开始逆时针补充半径为，角度为的圆弧。在计算正、负穿越数时，应将补上的虚线圆弧作为幅相曲线的一部分。02/v例：下图给出三个含有积分环节的开环系统幅相曲线，试判断系统的稳定性。ReIm00-12,0P（a）(a)由于，因此首先补上ω从0到0＋部分；由图可见，不存在穿越，即N＋－N－＝0，所以不稳定的极点数为所以，闭环系统稳定。2v0)00(20)(2NNPzReIm00-12,0P（b）(b)由于因此首先补上ω从0到0＋部分；由图可见，存在一次负穿越，即N＋＝0，N－＝1，所以不稳定的极点数为所以，闭环系统不稳定。2v2)10(20)(2NNPzReIm001,1P（c）(c)由于因此首先补上ω从0到0＋部分；由图可见，存在半次负穿越，即N＋＝0，N－＝1/2，所以不稳定的极点数为所以，闭环系统不稳定。1v2)(2NNPz例1、已知某单位负反馈系统的开环传递函数为0,0)1()(32KssKsG试用奈奎斯特稳定判据判断系统稳定时的和应满足的条件。K解：概略幅相特性曲线，令与负实轴交点处频率为，且设时，系统处于临界稳定状态，故有)(jG)(jG11180)(1)(11jGjG由180arctan2270)(11jG可得145arctan111)1()(312121KjG由可得331312122121)1(KK因为，若，必有。根据奈奎斯特判据：0P321K0NNN02NPZ321K故闭环系统稳定时，与应满足的条件为K