(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题

代数式的化简求值问题知识定位初中数学中，全面实现了用字母代数。这实现了学生对数认识的又一次飞跃。这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。知识梳理1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。例题精讲【试题来源】【题目】若多项式xyxxxmx537852222的值与x无关，求mmmm45222的值.【答案】-4【解析】分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零因为83825378522222yxmxyxxxmx所以m=4将m=4代人，44161644452222mmmmmm利用“整体思想”求代数式的值【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】x=-2时，代数式635cxbxax的值为8，求当x=2时，代数式635cxbxax的值。【答案】-202008200712007200720072222323aaaaaaa【解析】分析：因为8635cxbxax当x=-2时，8622235cba得到8622235cba，所以146822235cba当x=2时，635cxbxax=206)14(622235cba【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】当代数式532xx的值为7时,求代数式2932xx的值.【答案】4【解析】分析：观察两个代数式的系数由7532xx得232xx，利用方程同解原理，得6932xx整体代人，42932xx代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知012aa，求2007223aa的值.【答案】2008【解析】分析：解法一（整体代人）：由012aa得023aaa所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由012aa，得aa12，所以：322222222200722007(1)22007220072007120072008aaaaaaaaaaaaa解法三（降次、消元）：12aa（消元、减项）20082007120072007)(20072007222222323aaaaaaaaaaa【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？【答案】B公司，因为B公司的年收入永远比A公司多50元【解析】分析：此题为代数式在实际问题中的应用。分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050第二年：A公司10200；B公司5100+5150=10250第n年：A公司10000+200(n-1）；B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且bcbcacacababccbbaax，则123cxbxax的值是_______。【答案】0【解析】解：因为abc0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数又因为a+b+c0，所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设a0，b0，c0则ab0，ac0，bc0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。同理，当b0，c0时，x=0。另：观察代数式bcbcacacababccbbaa，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线____上，“2008”在射线___________上．（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为__________________________．【答案】（1）OE；OD（2）6n-5【解析】此题为规律探索问题。分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，…观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，归纳得到，这列数可以表示为6n-5因为17=3×6-1，所以17在射线OE上。因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD上【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为kn2（其中k是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．【答案】8【解析】分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为kn2（其中k是使kn2为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169，169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1，1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，所以，结果是8。【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】已知当x=7时，代数式ax5+bx-8=8，求x=7时，2ax5+2bx+8的值【答案】10【解析】2ax5+2bx+8=12（ax5+bx+4）=12（16+4）=10【知识点】代数式的化简求值问题26134411第一次F②第二次F①第三次F②…【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】第17届江苏省初中数学竞赛题【题目】若代数式3x2-2x+6的值为8，则代数式23x2-x+1的值为【答案】2【解析】23x2-x+1=12（3x2-2x）+1=12（8-6）+1=2【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】第15届希望杯竞赛题【题目】当x=-1时，代数式2ax3-3bx+8的值为18，这时，代数式9b-6a+2=【答案】32【解析】9b-6a+2=3（3b-2a）+2；当x=-1时，代数式2ax3-3bx+8=-2a+3b+8=18，所以-2a+3b=10；所以3（3b-2a）+2=3*10+2=32【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】已知x1-y1=2，求yxyxyxyx3353的值【答案】115【解析】因为x1-y1=2，所以yyxx=2即xy=12（y-x）;所以yxyxyxyx3353=5113()3()1122355()()22xyxyxyxyxyxy【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】若ab=1，求1aa+1bb的值【答案】1【解析】因为ab=1，所以1aa+1bb=2111abab【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】第16届希望杯竞赛题【题目】已知x2+2x=3，求代数式x4+7x3+8x2-13x+15的值【答案】18【解析】x4+7x3+8x2-13x+15=43322581315xxxxx=2232(2)581315xxxxxx=2323581315xxxx=325111315xxx=225(2)1315xxxxx=2151315xxx=2215xx=315=18【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】第20届北京市迎春杯竞赛题【题目】已知关于x的二次多项式a(x3-x2+3x)+b(2x2+x)+x3-5，当x=2时，此多项式的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值【答案】-14【解析】因为是关于x的二次多项式，所以a=-1；当x=2时，b=-1；所以当x=-2时，a(x3-x2+3x)+b(2x2+x)+x3-5=-14【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】2004年重庆初中数学决赛题【题目】已知1+x+x2+x3=0，则1+x+x2+x3+…+x2004的值为【答案】1【解析】【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】第14届希望杯竞赛题【题目】如果x2+x-1=0，则x3+2x2+3=【答案】4【解析】【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】2006年希望杯竞赛题【题目】若m+n-p=0，则m(n1-p1)+n(m1-p1)-p(m1+n1)【答案】-3【解析】【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】2003年全国竞赛题【题目】某商品2000年比1999年涨价5%，2001年又比2000年涨价10%，2002年比2001年降价12%，则2002年比1999年【选项】A．涨价3%B．涨价1．64%C．涨价1．2%D．降价1．2%【答案】B【解析】【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】第17届希望杯竞赛题【题目】在代数式xy2中，x与y的值各减少25%,则该代数式的值减少了【选项】A．50%B．75%C．6437D．6427【答案】C【解析】【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】第18届五羊杯竞赛题【题目】已知有理数A，B，x，y满足A+B0，且（A+B）：（A-B）=（2x+y）:(x-y)，那么A：（A+B）=【选项】A．3x:(2x+y)B．3x:(4x+2y)C．x:(x+y)D．2x:(2x+y)【答案】B【解析】【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】第11届“华罗庚金杯”竞赛题【题目】当m=2时，多项式am3+bm+1的值是0，则多项式4a3+b+521=【答案】5【解析】【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】北京市迎春杯竞赛题【题目】当x=2时，代数式ax3-bx+