高考数学平面向量专题研究姚围有从历届高考来看,向量题往往已经成为浙江高考数学的点睛之笔。向量作为一种既有大小又有方向的量,同时兼具代数和几何双重身份,一方面,它可以将几何问题转化为坐标的代数运算,另一方面,又可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。因此,向量是重要而基本的数学概念之一,是高中数学的重点内容之一。几乎每年都是浙江省高考数学的热点,而且题目比较新颖独特,基本以压轴题的形式出现,对学生的要求比较高,重在考查学生的能力。一、2017年浙江高考考试说明要求1.1考试内容:平面向量的基本概念,平面向量的线性运算及几何意义,平面向量的基本定理及坐标表示,平面向量的数量积,平面向量的应用。1.2考试要求:1.理解平面向量及几何意义,理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。2.掌握向量加法、减法、数乘的概念,并理解其几何意义。3.理解平面向量的基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单问题。4.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。5.掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算。6.理解平面向量数量积的概念及其意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系。7.掌握平面向量数量积的坐标运算,掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。8.会用坐标表示平面向量的平行与垂直。9.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。二、说明研读,地位分析从近几年的的浙江省数学高考真题来看,一般出现在选择、填空题的压轴题的位置。对于学生的能力要求较高,体现了“在考查基础知识的同时,注重考查能力”的高考命题原则,凸显以能力立意命题的指导思想,又考查学生对数学思想方法的理解,试题以中、高档题为主,往往成为试题的亮点。作为新高考文理不分科后的首次高考,对于平面向量的考查仍然是高考的考查重点,仍然会以中、高档题为主,以选择题或填空题出现,但是可能题目难度略低于理科难度,三、考情分析,总结原因3.1一模考试得失分情况分析本次模拟试卷涉及平面向量考点有3道题,分别是选择题第7题,解答题第19题,第21题向量与解析几何的综合运用,具体各题得分情况如下:题号知识点平均分标准差难度系数杭州市一模选择题第7题平面向量基本定理,三角形内心2.04(满分4分)20.51解答题第19题向量的坐标运算,数量积运算,函数中的最值问题9.52(满分15分)3.410.633.2本届学生存在的问题根据学生平时学习情况和本次一模考试的得分情况,在平面向量这块内容上,我校学生主要存在以下问题:(1)部分学生基础不扎实,对平面向量的基本概念、基础知识理解不够,如加减法的几何意义、向量模和夹角、投影等。如杭州市一模试题第21题中向量的加法122PFPFPO。(2)平面向量的基本定理及其意义理解不够深刻,基底运算应用不够熟练。如一模题中第7题,设O是ABC的内心,,,ABcACb,若12AOABAC,则()A.12bcB.2122bcC.2122cbD.2122cb(3)向量运算几何转化意识不够,在向量运算过程中,学生不能够准确地挖掘向量运算的几何背景。(4)由于平面向量题基本以中、高档题为主,导致学生对向量题目产生恐惧心理,遇到向量题目不愿意动手。(5)向量与平面几何、函数、解析几何、不等式等其他知识的综合问题熟练程度不够,综合能力不够强。三、高考试题分析1.考查线性运算几何意义例1.(08年理17)记,max{,},xxyxyyxy,,min{,},yxyxyxxy,设,ab为平面向量,则()A.min{||,||}min{||,||}abababB.min{||,||}min{||,||}abababC.2222},|max{|bababaD.2222},|max{|bababa分析:本题主要考查平面向量的线性运算中模长关系的比较,平行四边形中对角线长度与边长关系的联系。解:ab和ab是以ab、为邻边的平行四边形的对角线22222222++=2++2abababababab22max{,}abab,可以得出答案选D.2.平面向量与不等式综合考查例3.(13年理17题)设1e、2e为单位向量,非零向量21eyexb,x、Ry.若1e、2e的夹角为6,则xb的最大值等于__________.分析:该题表述简洁清晰,灵活考查了平面向量的基本定理、平面向量的坐标表示,平面向量的数量积、平面向量的几何意义等知识,渗透了多种数学思想方法。解法一:直接求解由题意得223bxyxy当0x时,222212331xxxyxyyybxx解法二:坐标法,设1(1,0)e,2(1,0)e,则31(,)22bxyy.下同解法一。解法三:判别式法设12,,xtbxeyeb可得2223bxyxy,22223xtxyxy当0x时,22223(1)0yytttxx,则222234(1)0ttt,故解得0,2.t解法四:几何法,如图,设12,,DOOAxeDEOByeOEb,则6ODEAOB,当点E在AOB内时,显然1xb;当点E在AOB外时,在ODE中,由正弦定理知sinsin2sin2sinsin6xODOEDOEDOEDOEEDOb当且仅当2OED时,等号成立。从考后调查来看,学生通过平方再构造函数求解居多,虽然也能解题,但显然违背了向量的内涵。当然,可能也是由于xb这个代数式的不协调(分子是数的绝对值,分母是向量的模)造成的。其实如果学生想到把x改写成1xe,那么问题还可以这样解决。解法五:把1xe看成一个固定向量,由平面向量的基本定理或平行四边形法则知12bxeye,如图所示,b的终点一定在直线AB上,那么1xeb比值显然在b与直线AB垂直时达到最大,即1100112coscos60xexeAOBbbDOEAB例3.(2015浙理15)已知12,ee是空间单位向量,1212ee,若空间向量b满足1252,2bebe,且对于任意,xyR,12010200()()1(,)bxeyebxeyexyR,则0x,0y,b.分析:本题与2013年高考数学向量题惊人的相似,既可以利用两边平方然后配方,求出12()bxeye取到最小值时00,xy的值和b,但这样的处理有一定的技巧和较大的计算量。其实如果对例3有足够的理解,应该能想到例4和例3其实本质是一样的,只不过把一维定理的运用换成了二维定理。解法一(代数法):因为22221243()2724ybxeyexyb,即当001,2xy时,b22。解法二(几何法):12,(,)OCxeyexyR表示由12,ee确定的平面内的任一向量,由12010200()()1(,)bxeyebxeyexyR设1bOBOBOCCB,,所以当0CBCDE平面时,min1CB,所以01020bebe,即有001,2xy,由勾股定理便可得到b1722。反思:虽然两道高考题都能从代数角度予以解决,但例3的处理难度要远难于例2,笔者思考如果在复习例2时能找到问题的本质并理解它、运用它,那么相信面对例3时,应该会有足够的信心从向量的角度解决。两年高考填空的最后一题,从结构上来看貌似毫无相关性,但本质上其实都是定理的运用,只不过将向量的背景从平面转移到了空间。例4.(2017高考样卷)已知向量ea,1||e,对任意t∈R,恒有||||eaeta,则()(A)ea(B))(eaa(C))(eae(D))()(eaea分析:几何背景:直线(向量e所在直线)外的一点(a的终点)与直线上的各点(et的终点)的连线中,垂线段最短。解法一(代数法):由||||eaeta恒成立得到,012)(22eaeatt恒成立,所以0)12(4)2(2eaea,推出0)(1eeaeeea)(eae解法二(几何法):如图2,因||||eaeta恒成立,所以,)(eae(衢州一模)已知平面向量,ab夹角为3,2,b对任意xR,有bxaab,则2atbatbtR的最小值是3.平面向量数量积的最值问题例5.(16年理15题)已知平面向量,ab,1,2,ab对任意的单位向量e,有6aebe,则ab的最大值为分析:本题是不等式与平面向量的综合题,难度较大,主要考查平面向量的数量积、坐标运算、绝对值不等式。解法一:(坐标法)设cos,sin,2cos,2sin,(1,0)abe则cos2cos6,设sin2sint。两式平方相加得2144cos()6t,即21426abt对任意的单位向量e恒成立,则12abab解法二:由三角不等式可得()6abaebe,则()cos,6abeabe,因此2()6ab,则12ab。4.平面向量基本定理与等和线考查例6(嘉兴一模)已知任意两个向量,ab不共线,若OAab,2OBab,aeetetaea图22OCab,ODab,则下列结论正确的是()A.,,ABC三点共线B.,,ABD三点共线C.,,ACD三点共线C.,,BCD三点共线分析:本题是试题中选择题第6题,应属于较容易题,主要考查平面向量的基本定理及其推论共线定理的应用。解析:由题意易知1()3OBOAOBOD,即13ABDB。故选B。例7.(温州九校一模)已知扇环如图所示,120AOB,'12,,2OAOAP是扇环边界上一动点,且满足OPxOAyOB,则2xy的取值范围是分析:考查平面向量的基本定理、等和线的应用,难度较大。解析:如图易知21xy时,,,PAB三点共线,作直线AB的平行线,与扇环交于点B和相切于T,所以:等和线有关结论:5.平面向量与解三角形综合考查例7.(湖州一模)已知ABC的面积是4,120BAC,点P满足PCBP3,过点P作边ACAB,所在直线的垂线,垂足分别是NM,,则PNPM_______.分析:本题以三角形为试题背景,综合考查平面向量数量积和解三角形的应用,利用面积相等和线段比可求解,属于中档题。解析:根据解三角形面积公式可得1sin12042ABAC,再根据三角形底乘高的面积公式得1144223cABhABPM,114422BAChACPN,通过上式可得334PMPN又83360cosPNPMPNPM在宁波一模和台州一模中也考查了平面向量与解三角形结合的题目,(宁波一模)已知ABC三边分别为a,b,c,且acbca222则边b所对应的角B大小为_________,此时,如果32AC,则ACAB的最大值为_________.(台州一模)已知不共线的平面向量a,b满足||3a,||2b.若向量()cabR,,且1,||||cbcaba,则.从以上几个例子,我们可以看出解决数量积的最值问题,一般是根据题目做出一个初步的判断,明确解题选择的方向:代数法还是几何法.代数法有两个方向可以考虑,第一是坐标运算;第二是纯向量的字母运算,利用数量积的定义求解.几何法就是充分挖掘平面几何图形的几何性质,结合数量积的几何意义解决.不管选择什么方法解决,都需要注重数形结合.仔细分析图形,可以有以下几种选择:第一,利用已有的坐标系或者建立适当的坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化为常见