【盈亏问题公式】(1)一次有余(盈),一次不够(亏),可用公式:(盈+亏)÷(两次每人分配数的差)=人数。(2)两次都有余(盈),可用公式:(大盈-小盈)÷(两次每人分配数的差)=人数。(3)两次都不够(亏),可用公式:(大亏-小亏)÷(两次每人分配数的差)=人数。(4)一次不够(亏),另一次刚好分完,可用公式:亏÷(两次每人分配数的差)=人数。(5)一次有余(盈),另一次刚好分完,可用公式:盈÷(两次每人分配数的差)=人数。例1:一个植树小组去栽树,如果每人栽3棵,还剩下15棵树苗;如果每人栽5棵,就缺少9棵树苗。求这个小组有多少人?一共有多少棵树苗?分析:已知如果每人栽3棵,还剩下15棵树苗,也就是说还有15棵树苗没有栽上,树苗余下了;又知如果每人栽5棵,就缺少9棵树苗,这就是说,树苗不够了。按照第一种方案去栽,树苗余下了,若按照第二种方案去栽,树苗不足了。一个是余下一个是不足,这两个方案之间相差多少棵呢?相差(15+9=)24棵,也就是说,如果按照第二种方案去栽的话,可以比第一种方案多栽24棵树。为什么能多栽24棵树呢?因为每个人多栽(5-3=)2棵。由于每一个人多栽2棵树,一共多栽24棵树,即“2棵树”对应于“1个人”。这样,小组的人数可以求得。随之,树苗的棵数也可以求得。计算:(1)小组的人数:(15+9)÷(5-3)=24÷2=12(人)(2)树苗的棵数:3×12+15=51(棵)答:这个小组有12人,一共有51棵树苗。在解题时,常常要找两个“差”。一个是总棵数之差,即第一种方案同第二种方案所栽树苗的总差数;另一个是单量之差,即每个人所栽树苗的差。有了这两个差即可求出结果。因此,这种解题的思路也可以称作“根据两个差求未知数”。例2:悦悦每天早晨7点30分从家出发上学去,如果每分钟走45米,则迟到4分钟到校;如果每分钟走75米,则可以提前4分钟到校。求从家出发需要走多少分钟才能准时到校?悦悦的家离学校有多少米?分析:已知如果悦悦每分钟走45米,则迟到4分钟,这就是说,按照规定到校的时刻来说,还距离学校有(45×4=)180米的路;又知如果每分钟走75米,则可以提前4分钟到校,这就是说,到校之后还可以多走出(75×4=)300米的路。这样,一个慢一个快,在同样时间之内,速度快要比速度慢多走出(180+300=)480米的路。又知每分钟多走(75-45=)30米。总之,由于每分钟多走30米,一共多走出480米;因此,从家到学校所需要的时间就可以求出来了,随之,悦悦的家距离学校的米数也可以求出来了。计算:(1)准时到校需要多少分钟?(45×4+75×4)÷(75-45)=480÷30=16(分钟)(2)悦悦家与学校距离多少米?45×16+45×4=720+180=900(米)答:准时到校需要16分钟,悦悦家离学校900米。例3:晶晶读一本故事书,原计划若干天读完。如果每天读11页,可以比原计划提前2天读完;如果每天读13页,可以比原计划提前4天读完。求原计划多少天读完?这本书共有多少页?分析:已知如果每天读11页,可以比原计划提前2天读完,这就是说,如果继续读2天的话,还可以多读(11×2=)22页;又知如果每天读13页,可以比原计划提前4天读完,这就是说,如果继续读4天的话,还可以多读(13×4=)52页。两种情况,虽然都可以多读,但是它们之间有差别。就是说,在一定的日期之内,第二种方法比第一种方法多读(52-22=)30页。为什么能多读30页呢?就是因为每天多读(13-11=)2页。由于每天多读2页,结果一共可以多读30页。这是多少天读的呢,问题不就解决了吗!计算:(1)原计划多少天读完这本书?(13×4-11×2)÷(13-11)=(52-22)÷2=30÷2=15(天)(2)这本书共有多少页?11×(15-2)=11×13=143(页)练习题1、幼儿园把一箱苹果分给一批小朋友,如果每人2个,则多18个,如果每人3个,则少12个。问幼儿园有多少个小朋友?一共有多少个苹果?2、一堆桃子分给一群猴子,如果每只猴子分10个桃子,则有两只猴子没有分到;如果每只猴子分8个桃子,则刚好分完。求有多少只猴子?多少个桃子?3、实验小学学生乘车春游,如果每车坐60人,则有15人上不了车;如果每车坐65人,恰好多出一辆车。问一共有几辆车?有多少个学生?4、学生分练习本,如果每人分4本,则多8本;如果有1人分10本,其余每人分6本,则缺18本。学生有多少人?练习本有多少本?5、小强从家到学校,如果每分走50米,上课就要迟到3分;如果每分走60米,就可以比上课时间提前2分到校。小强家到学校的路程是多少千米?6、张华离家到县城去上学,他以每分50米的速度走了2分后,发现按这个速度走下去就要迟到8分。于是他加快了速度,每分多走10米,结果到校时,离上课还有5分。张华家到学校的路程是多少?7、一组学生植树,每人栽6棵还剩4棵;如果其中3人各栽5棵,其余每人各栽7棵,正好栽完。这一组学生有多少人?一共栽多少棵?8、小红的爷爷买回一筐梨,分给全家人。如果小红和小妹两人每人分4个,其余每人分两个,还多出4个;如果小红一人分6个,其余每人分4个,又差12个。小红家有多少人?这筐梨有多少个?9、学校有一批树苗,交给若干少先队员去栽,一次一次往下分,每次分一棵,最后剩下12棵不够分了;如果再拿来8棵树苗,那么每个少先队员正好栽10棵。参加栽树的少先队员有多少人?原有树苗多少棵?10、有一批正方形的砖,排成一个大正方形,余下32块;如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形,就要差49块。这批砖原有多少块?11、某年级同学春游时租船游湖,若每只船乘10人,还多2个座位;若每只船多坐2人,可少租一条船,这时每人可节省5角钱。租一只船需要多少钱?12、小李到市场去买肉,如果买牛肉18千克,则差4元;如果买猪肉20千克,则多2元。已知牛肉比猪肉每千克贵8角。牛肉、猪肉各多少钱一千克?13、学校买来一批篮球与排球分给各班,排球是篮球的2倍,若篮球每班分2个,多4个;若排球每班分5个,少2个。学校有几个班?篮球与排球各买了几个?牛吃草牛吃草问题是经典的奥数题型之一,这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题,给大家开拓一下思维,首先,先介绍一下这类问题的背景,大家看知识要点知识要点一、定义伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题:“12头牛4周吃牧草10/3格尔,同样的牧草,21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。”(格尔——牧场面积单位),以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。这类问题难在哪呢?大家看看它的特点二、特点在“牛吃草”问题中,因为草每天都在生长,草的数量在不断变化,也就是说这类问题的工作总量是不固定的,一直在均匀变化。难吗?难什么啊,一点都不难,只要掌握了方法,以后这样的题就都会了,来,看看这例题典例评析例1牧场上长满牧草,每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天?【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分:原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变,但应注意到它是匀速生长的,因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。从这道题我们看到,草每天在长,牛每天在吃,都是在变化的,但是也有不变的,都是什么不变啊?草是以匀速生长的,也就是说每天长的草是不变的;,同样,每天牛吃草的量也是不变的,对吧?这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多,我教大家一种巧妙的设未知数的方法,叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份,具体1份是多少我们不知道,也不用管它,设草每天增长的数量是a份,设原来的草的数量为b份,那么我们可以列方程了:27*6=b+6a;23*9=b+9a【思考1】一片草地,每天都匀速长出青草,如果可供24头牛吃6天,或20头牛吃10天,那么可供18头牛吃几天?15天.设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是(20×10-24×6)÷(10-6)=14份,原来的草量是(24-14)×6=60份。可供18头牛吃60÷(18-14)=15天例2因天气寒冷,牧场上的草不仅不生长,反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天,可供24头牛吃6天,照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10天?【分析】与例1不同的是,不但没有新长出的草,而且原有的草还在匀速减少,但是,我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量【思考2】由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以固定的速度在减少,经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天。那么,可供11头牛吃几天?8天,设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量:(20×5-16×6)÷(6-5)=4份,原来的草量:(20+4)×5=120份,可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。总结:想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,但是因为是匀速生长,所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草,问题就会迎刃而解。知识衍变牛吃草基本问题就先介绍到这,希望大家掌握这种方法,以后出现样吃草问题,驴吃草问题也知道怎么做,甚至,以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例3自动扶梯以均匀速度由下往上行驶,小明和小丽从扶梯上楼,已知小明每分钟走25级台阶,小丽每分钟走20级台阶,结果小明用了5分钟,小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶?【分析】在这道题中,“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”,“草”变成了“台阶”,“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。【思考3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬,两只蜗牛的爬行速度是不同的,一只每天爬行20分米,另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑,两只蜗牛滑行的速度却是相同的,结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底,另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么,井深多少米?大家说这里什么是牛?什么是草?都什么是不变的?15米。蜗牛每夜下降:(20×5-15×6)÷(6-5)=10分米所以井深:(20+10)×5=150分米=15米例4一条船有一个漏洞,水以均匀的速度漏进船内,待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水,3小时舀完。如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完,需要多少人?【分析】典型的“牛吃草”问题,找出“牛”和“草”是解题的关键【思考4】一个水池,池底有泉水不断涌出,用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干?5小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是:(20×10-15×10)÷(20-10)=5份,池内原有的水是:(10-5)×20=100份.所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时思维拓展例5有一牧场长满牧草,牧草每天匀速生长,这个牧场可供17头牛吃30天,可供19头牛吃24天,现在有若干头牛在吃草,6天后,4头牛死亡,余下的牛吃了2天将草吃完,问原来有牛多少头?【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长,所研究的量也等量地增加。解答时,要抓住这个关键问题,也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天,或供23头牛吃9天,现有一群牛吃了4天后卖掉2头,余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头?25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为:(23×9-27×6)÷(20-10)=15份,原有的草量为(27-15)×6=72份。如两头牛不卖掉,这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份。所以这群牛原来有200÷8=25头例6有三块草地,面积分别为5公顷,6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快,第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19