勾股定理与旋转-2

勾股定理与旋转21如图所示，在Rt三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4,求DE的长。2已知，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC.(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置（如图①）．①设AB的长为a，PB的长为b(ba)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=135o，求PC的长．(2)如图②，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．第1题3如图①，在凸四边形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．（1）如图②，若连接AC，则△ADC的形状是三角形．你是根据哪个判定定理？（2）如图③，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE，并连接AE，请问：BD与AE相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．（3）在第（2）题的前提下，请你说明BD2=AB2+BC2成立的理由．4已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N。（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决，可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了，请你完成证明过程。）（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。4第5题5如图，在等腰三角形ABC中，∠A=90°，D为BC边上的中点，过D点作DE垂直DF，交AB于点E，交BC于点F，若BE=12，FC=5，求DEF的面积。6如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）请说明：DE=DF；（2）请说明：BE2+CF2=EF2；（3）若BE=6，CF=8，求S△DEF的面积（直接写结果）．6第7第87等边三角形ABC内一点P,AP=3,BP=4,CP=5,则角APB度数为？8如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a＞0）．（1）求∠APB的度数；（2）求正方形ABCD的面积．9请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC的边长为．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．10阅读下面材料，并解决问题：（1）如图（1），等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C,的距离分别为3，4，5…(1)如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF²=BE²+FC²．②CFEBA10111211.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作60PBQ，且BQ=BP，连结CQ、PQ，若PA:PB:PC=3:4:5,试判断PQC的形状。12延伸训练：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．13练习3.在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD.求证：BD2=AB2+BC2BADCFDBACEPBACMN13141514如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。15如图，在△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，AM=BC，N为BC上一点，CN=BM，连接AN、CM交于点P。求∠APM的大小。QPCBA