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1第26课时平面向量的应用举例课时目标1.体会向量是解决处理几何、物理问题的工具．2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．识记强化1．向量方法解决几何问题的“三步曲”．(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的减法与加法类似，可以用向量的方法解决．课时作业一、选择题1．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()A．A，B，C三点共线B.AB→⊥BC→C．A，B，C是等腰三角形的顶点D．A，B，C是钝角三角形的顶点答案：D解析：∵BC→＝(－2,0)，AC→＝(2,4)，∴BC→·AC→＝－40，∴∠C是钝角．2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)答案：D解析：由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．3．在四边形ABCD中，若AB→＝－CD→，AB→·BC→＝0，则四边形为()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形答案：D解析：由AB→＝－CD→知四边形ABCD是平行四边形，又AB→·BC→＝0，∴AB→⊥BC→，∴此四边形为菱形．4．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．226m/sC．46m/sD．12m/s答案：B解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝v2－2v·v1＋v21＝226(m/s)．5．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2B．v2－v12C．v1＋v2D．|v1|－|v2|答案：C解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v1＋v2，故选C.6．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：①OA→＋OB→＋OC→＝0；②OA→·AC→|AC→|－AB→|AB→|＝OB→·BC→|BC→|－BA→|BA→|＝0；③(OA→＋OB→)·AB→＝(OB→＋OC→)·BC→＝0.则点O依次为△ABC的()A．内心、重心、垂心B．重心、内心、垂心C．重心、内心、外心D．外心、垂心、重心答案：C解析：①由于OA→＝－(OB→＋OC→)＝－2OD→，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O为△ABC的重心；②向量AC→|AC→|，AB→|AB→|分别表示在AC和AB上取单位向量AC′→和AB′→，它们的差是向量B′C′→，当OA→·AC→|AC→|－AB→|AB→|＝0，即OA⊥B′C′时，则点O在∠BAC的平分线上，同理由OB→·BC→|BC→|－BA→|BA→|＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心；③OA→＋OB→是以OA→，OB→为边的平行四边形的一条对角线，而AB→是该四边形的另一条对角线，AB→·(OA→＋OB→)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA→|＝|OB→|，同理有|OB→|＝|OC→|，于是O为△ABC的外心．二、填空题7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的投影为________．答案：245解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝12＋1`25×5＝2425.∴va在vb上的投影为|va|cosθ＝5×2425＝245.8．已知点A(0,0)，B(3，0)，C(0,1)．设AD⊥BC于D，那么有CD→＝λCB→，其中λ＝________.答案：14解析：如图|AB→|＝3，|AC→|＝1，|CB→|＝2，由于AD⊥BC，且CD→＝λCB→，所以C、D、B三点共线，所以|CD→||CB→|＝14，即λ＝14.39．在四边形ABCD中，已知AB→＝(4，－2)，AC→＝(7,4)，AD→＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．答案：30解析：BC→＝AC→－AB→＝(3,6)＝AD→，∵AB→·BC→＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴AB→⊥BC→，∴四边形ABCD为矩形，|AB→|＝20，|BC→|＝45，∴S＝|AB→|·|BC→|＝30.三、解答题10.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD，求证：M，N，C三点共线．证明：依题意，得BM→＝12BA→，BN→＝13BD→＝13(BA→＋BC→)．∵MN→＝BN→－BM→，∴MN→＝13BC→－16BA→.∵MC→＝BC→－BM→＝BC→－12BA→，∴MC→＝3MN→，即MC→∥MN→.又MC→，MN→有公共点M，∴M，N，C三点共线．11．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i,j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．解：AB→＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·AB→＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28；F2做的功W2＝F2·s＝F2·AB→＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23.(2)F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F做的功W＝F·s＝F·AB→＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.能力提升12．如图，作用于同一点O的三个力F1→、F2→、F3→处于平衡状态，已知|F1→|＝1，|F2→|＝2，4F1→与F2→的夹角为2π3，则F3→的大小________．答案：3解析：∵F1→、F2→、F3→三个力处于平衡状态，∴F1→＋F2→＋F3→＝0即F3→＝－(F1→＋F2→)，∴|F3→|＝|F1→＋F2→|＝F1→＋F2→2＝F21→＋2F1→·F2→＋F22→＝1＋2×1×2×cos2π3＋4＝3.13．已知A(2,1)、B(3,2)、D(－1,4)．(1)求证：AB→⊥AD→；(2)若四边形ABCD为矩形，试确定点C的坐标，并求该矩形两条对角线所成的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)．又∵AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AD→.(2)∵四边形ABCD为矩形，且AB⊥AD，∴AD→＝BC→.设C(x，y)，则(－3,3)＝(x－3，y－2)，－3＝x－33＝y－2，∴x＝0，y＝5.∴点C(0,5)．又∵AC→＝(－2,4)，BD→＝(－4,2)，∴AC→·BD→＝(－2)×(－4)＋4×2＝16.而|AC→|＝－2＋42＝25，|BD→|＝－2＋22＝25，设AC→与BD→的夹角为θ，则cosθ＝AC→·BD→|AC→||BD→|＝1625×25＝45∴该矩形两条对角线所成锐角的余弦值为45.