2018春中考数学《二次函数与等腰三角形》

题型八二次函数综合题类型一等腰三角形的存在性问题第二部分攻克题型得高分例抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(1,0),B(4,0),与y轴的交点为C(0,3).(1)求该抛物线的解析式及其对称轴；（1）【思维教练】典例精析(1)∵抛物线过点A（1,0），B（4,0），∴设抛物线的解析式为y=a(x－1)(x－4)（a≠0），将点C（0,3）代入得a(0－1)(0－4)=3，解得a=；∴抛物线的解析式为y=(x－1)(x－4)，即y=x2－x+3∴抛物线对称轴为直线x=-=;343434154522ba(2)如图①,D为OB上的一点,连接CD,若CD=BD,求点D的坐标；（2）【思维教练】点D在x轴上，可设出D点坐标，再由CD＝BD列出等式，求解D点坐标．例题图①（2）∵点D在OB上运动，设点D（d,0），B（4,0）（0≤d≤4）∴BD=4-d；在Rt△COD中，OC=3，OD=d，∴CD2=OC2+OD2=32+d2,∵BD=CD，∴BD2=CD2，∴(4－d)2=32+d2，解得d=.∴点D的坐标为（，0）；7878(3)如图②,P为抛物线对称轴上一点,且△COP是以CO为底的等腰三角形,求点P的坐标；（3）【思维教练】例题图②解：由(1)知抛物线对称轴为直线x＝.∵点P在对称轴上，∴设点P坐标为(，y)．要使△COP是以CO为底的等腰三角形，则PC＝PO.如解图①，过OC的中点E作PE⊥CO，PE与对称轴直线x＝的交点即为所求点P.连接CP、PO，∵点C坐标为(0，3)，则OC的中点E的纵坐标为，∴点P的纵坐标为，∴点P的坐标为(，)；525252例题解图①52323232(4)如图③,在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得△COG是以CO为腰的等腰三角形,若存在,求点G的坐标,若不存在,请说明理由;例题图③（4）【思维教练】解：存在．如解图②，设对称轴x＝与x轴交点为F.(i)当点C为顶点时，以点C为圆心，OC长为半径画弧，与对称轴x＝交于G1、G2两点，连接CG1、CG2，过点C作CH⊥G1G2于点H.∴CG1＝CO＝3，CH＝OF＝，∴G1H＝，∴G1F＝＋3＝，∴点G1坐标为(，)．同理得G2H＝，FG2＝3－＝，∴点G2坐标为(，)．例题解图②52525211211261125261126112112112611252(ii)当点O为顶点时，以点O为圆心，以OC长为半径画弧，与对称轴x＝交于G3，G4两点，连接OG3、OG4.由解图②可知OG3＝OC＝3，在Rt△OFG3中，FG3=，∴点G3坐标为(，)，同理得点G4坐标为(，-)．综上所述，满足条件的点G共有4个坐标，分别为G1(，)，G2(，)，G3(，)，G4(，-)；6112521126112525252525211211211252112(5)如图④,连接BC,线段BC上是否存在点M,使△COM是等腰三角形,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.（5）【思维教练】未明确说明等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①OM＝OC；②MC＝OC；③CM＝OM分别求解，若有解，则存在；若无解，则不存在．例题图④解：存在．设直线BC的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，将点C(0，3)，B(4，0)代入解析式中，得，解得，∴直线BC的解析式为y=x＋3.∵点M在线段BC上，∴设点M的坐标为(m，m＋3)，(0＜m＜4)，如解图③，过点M分别作x轴、y轴的垂线MN、MP.在Rt△MON和Rt△MPC中，根据勾股定理得：MO2＝m2＋(m＋3)2，MC2＝m2＋(m)2，例题解图③111340bkb11334bk34343434要使△COM是等腰三角形，则分三种情况讨论：①当OM＝OC时，则m2＋(-m＋3)2＝9，解得m1＝，m2＝0(舍去)，此时点M的坐标为(，)；②当CM＝OC时，则m2＋(m)2＝9，解得m3＝，m4＝-(舍去)，此时点M的坐标为(，)；③当MC＝OM时，则m2＋(m)2＝m2＋(-m＋3)2，解得m5＝2，此时点M的坐标为(2，)．综上所述，满足条件的点M的坐标分别为(，)，(，)和(2，)．343434347225212512565327225125125722521251256532