离散型随机变量的均值与方差2.3.1

2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值主题1离散型随机变量的均值1.某商场要将单价为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售,该商品的价格定为多少元才合理?提示:平均1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是kg,kg,kg,因此混合糖果的合理价格应该为:18×+24×+36×=23(元/kg).1213161213162.在上述问题中,若每一颗糖的质量相等,将原单价看成离散型随机变量X,写出其分布列.提示:由于在混合糖果中,任取一颗糖果,这颗糖果为第一、二、三种糖果的概率分别为所以其概率分布列为:111236，，，X182436P1213163.观测1中商品的合理价格与2中分布列的关系,你能得出什么结论?提示:合理价格=18×+24×+36×=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36).即均值=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36).121316结论:离散型随机变量的均值或数学期望:一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)数学期望E(X)=_______________________.(2)数学期望的意义:反映了离散型随机变量取值的_________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn平均水平【微思考】1.离散型随机变量的分布列反映了随机变量各个取值的概率,离散型随机变量的期望反映了随机变量的哪些内容?提示:离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平.2.离散型随机变量的取值与离散型随机变量均值取值的单位是否相同?提示:由定义可知离散型随机变量均值的单位与离散型随机变量的取值单位相同.主题2随机变量均值的性质1.设离散型随机变量X,试问η=aX+b(a,b是常数)也是随机变量吗?提示:a,b作为具体的常数,不会改变随机变量X的属性,所以是随机变量.2.设η=aX+b,试用E(X)表示E(η).提示:E(η)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.3.若X～B(n,p),则E(X)等于什么?提示:E(X)=kpkqn-k=nppk-1qn-1-(k-1)=nppkqn-1-k=np.nk0knCnk1k1n1Cn-1k0kn1C结论:均值的性质:若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,则(1)Y也是随机变量.(2)E(aX+b)=________.特别地,若X～B(n,p),则E(X)=np.aE(X)+b【微思考】1.如何理解E(aX)=aE(X)?提示:当离散型随机变量X的取值都扩大到原来的a(a1)倍时,它的均值也扩大到原来的a倍;当离散型随机变量X的值缩小到原来的a(0a1)时,它的均值也缩小到原来的a.2.如何理解E(X+b)=E(X)+b?提示:当离散型随机变量X的取值都增加b(b0),它的均值也相应地增加b;当随机变量X的取值都减少|b|(b0),它的均值也相应地减少|b|.3.两点分布的随机变量的均值是多少?提示:由两点分布得E(X)=1×p+0×(1-p)=p.X10Pp1-p【预习自测】1.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)=()35A.B.2C.D.322【解析】选A.依题意得:E(X)=3313123.5101022.若随机变量X服从二项分布则E(X)的值为()【解析】选A.由均值的性质得E(X)=1B(4,),348138A.B.C.D.3339144.333.设E(X)=6,则E(2X+3)等于()A.10B.15C.9D.39【解析】选B.依随机变量期望的性质得:E(2X+3)=2E(X)+3=2×6+3=15.4.随机变量X的分布列如表,且E(X)=,则a-b=________.43X12Pab【解析】由表格可知:a+b=1,又E(X)=,可得a+2b=,解得b=,a=,所以a-b=.答案:4343132313135.甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中的概率为,乙命中的概率为,若命中目标的人数为X,则E(X)=________.2345【解析】由可知E(X)=答案:16822012.1515151522156.已知离散型随机变量ξ的概率分布如下:若随机变量η=2ξ+1,求η的数学期望.ξ012P0.33k4k【解析】由0.3+3k+4k=1得k=0.1,所以E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1,所以E(η)=E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=2×1.1+1=3.2.类型一求离散型随机变量的均值【典例1】某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若三道题目中猜对一道题目可得1分,若猜对两道题目可得3分,若三道题目完全猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.【解题指南】先确定X(该嘉宾所得分数)的所有可能取值,然后求出每个值的概率,进而确定分布列与均值.211323，，，【解析】根据题意,设X表示“该嘉宾所得分数”,则X的可能取值为-4,1,3,6.所以P(X=-4)=2111(1)(1)(1),32392121121117PX1,323323323182122111117PX3,323323323182111PX6.3239所以X的分布列为所以E(X)=1771164136.9181899【方法总结】求离散型随机变量均值的步骤(1)写出X可能取得的全部取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求出E(X).【巩固训练】在10件产品中,有3件一等品、4件二等品、3件三等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.【解析】根据题目信息可得X的可能取值为0,1,2,3.0312373733101021303737331010CCCC721PX0.PX1.C24C40CCCC71PX2.PX3.C40C120故则随机变量X的分布列为所以E(X)=7217190123.24404012010【补偿训练】(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是________.【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币,在一次试验中,至少有一枚硬币正面向上的概率为P=每次试验事件发生的概率均相同,所以在2次试验中成功次数满足二项分布X～B则E(X)=答案:1131.2243(2)4，，332.4232类型二两点分布、二项分布的均值【典例2】(1)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为()A.100B.200C.300D.400(2)某运动员投篮命中率为P=0.6.①求投篮1次时命中次数X的数学期望;②求重复5次投篮时,命中次数Y的数学期望.【解题指南】(1)不发芽的种子数服从二项分布,而补种的种子数等于不发芽种子数的2倍.(2)①X服从两点分布,根据两点分布的均值公式计算;②Y服从二项分布,根据二项分布的均值公式计算.【解析】(1)选B.记“不发芽的种子数为Y”,则Y～B(1000,0.1),所以E(Y)=1000×0.1=100,而X=2Y,故E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200.(2)①投篮1次,命中次数X的分布列如表:则E(X)=0.6.②由题意得,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y～B(5,0.6),则E(Y)=5×0.6=3.X01P0.40.6【延伸探究】1.本例(2)中改为求重复10次投篮时,命中次数ξ的数学期望.【解析】E(ξ)=10×0.6=6.2.本例(2)中改为重复5次投篮时,命中次数为Y,随机变量η=5Y+2,求E(η).【解析】E(η)=E(5Y+2)=5E(Y)+2=5×3+2=17.【方法总结】1.两点分布与二项分布的特点(1)两点分布是指一次试验有两个结果的概率分布,试验次数为1且不能重复.(2)二项分布是指n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率分布列,需要做n次试验且每次试验的结果只有两个结果.2.两点分布与二项分布的均值求法步骤首先依据两点分布与二项分布的特点判断随机变量的分布属于哪一类分布,其次依据两点分布与二项分布的均值公式计算对应分布的均值.【补偿训练】某广场上有4盏装饰灯,晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯,每盏灯出现红灯的概率都是,出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ,当这4盏装饰灯闪烁一次时:(1)求ξ=2时的概率.(2)求ξ的均值.2313【解析】(1)依题意知:ξ=2表示4盏装饰灯闪烁一次时,恰好有2盏灯出现红灯,而每盏灯出现红灯的概率都是,故ξ=2时的概率P=232224218C()().3327(2)方法一:ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,依题意知:P(ξ=k)=所以ξ的概率分布列为所以E(ξ)=kk4k421C()()k0,1,2,3,4.3318243216801234.81818181813方法二:因为ξ服从二项分布,即ξ～B所以E(ξ)=2(4,),3284.33类型三:离散型随机变量均值的应用【典例3】受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x≤11x≤2x20x≤2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率.(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1;生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.【解题指南】(1)根据保修期为2年,可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3,由此可求其概率.(2)求出概率,可得X1,X2的分布列.(3)由(2)求出X1,X2的均值,比较它们的大小可得结论.【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障在保修期内”为事件A,则P(A)=231.5010(2)依题意得,X1,X2的分布列分别如下.(3)由(2)得E(X1)==2.86(万元),E(X2)==2.79(万元),因为E(X1)E(X2),所以应生产甲品牌的轿车.139123255010191.82.91010【方法总结】模型化解题最佳方案选择首先应把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值,随机变量的均值反映的是离散型随机变量取值的平均水平.在实际问题的决策中,往往把均值最大的方案作为最佳方案进行选择.【巩固训练】(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥