不定积分的性质及应用

ZHUANTIYANJIU9320111吴晓庆李佳俞(安阳师范学院455000)本文主要对不定积分的性质和应用进行研究,归纳了几种求解不定积分的方法,能熟练的掌握和应用这几种方法对于解决不同形式的不定积分问题很有帮助,能够灵活应用拓宽思路,有效的求解不定积分.原函数;不定积分的定义;不定积分的性质;不定积分的应用,,,.,,,.,,:,.,,,.1原函数的定义I,F(x)f(x),xIF(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx,F(x)f(x)I.C0,F(x)f(x)I,[F(x)+C]=f(x),,f(x)I,..2不定积分的定义F(x)f(x)I,f(x)F(x)+C(C)f(x),f(x)dx,f(x)dx=F(x)+C.:,,.3从原函数和不定积分的定义可以得出两者的关系:[f(x)dx]=f(x)d[f(x)dx]=f(x)dx,,,,.F(x)dx=F(x)+CdF(x)=F(x)+C,,,,C.,,,.,:,,,.,.,,.1F(x)dx=F(x)+CdF(x)=F(x)+C.1.2f(x)g(x),(f(x)g(x))dx=f(x)dxg(x)dx.,,:[f1(x)++fn(x)]dx=f1(x)dx++fn(x)dx.,.3f(x),k,kf(x)dx=kf(x)dx.,2,f1(x)=f2(x)==fn(x),3.3,,.,f(x)f(x),,f(x),,,,..:,,C,.曲线过点(0,1),且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值,求此曲线.y=f(x),(x,y).y=f(x)=cosx.y=cosxdx=sinx+C.(0,1),,C=-1.y=sinx-1.,,.1,.2,,,ZHUANTIYANJIU9420111:第一种换元法f(u),u=(x),:f[(x)](x)dx=f(u)du|u=(x),f[(x)](x)dx=f((x))d(x).,.,.第二种分部积分法,:(uv)=uv+uv,(uv)dx=uvdx+uvdx,uv=uvdx+uvdx,uvdx=vu-uvdx.,uv,.第三种特殊函数形式的灵活转化,1,,.,1.,.,:1=sin2x+cos2x,cos2x=12(1+cos2x),sin2x=12(1-cos2x).:f(xn)xn-1dx=1nf(xn)dxn,f(xn)1xdx=1nf(xn)1xndxn.,.第四种分段函数的求解,,,.,,,.,.,,,,;;,,.,,,,,,,,.,,.[1]徐志庭,刘名生,冯伟贞.微积分.北京:科学教育出版社,2009.[2]吴赣昌.高等数学[M].北京:中国人民大学出版社,2009.[3]李文林.数学史教程.北京:高等教育出版社,2000.[4]王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程讲义.第二版.北京:高等教育出版社,1983.[5]同济大学应用数学系主编.高等数学.第四版.北京:高等教育出版社,2002.[6]同济大学应用数学系主编.高等数学.第五版.北京:高等教育出版社,2002.(92)(9)(10)UE.(A+U+E)C0T(t).C0(A+U+E)C0T(t).Banach,XX*={q*RL[0,)L[0,)||||q*|||=sup{|q0|,supn1qnL[0,)}}.X*Banach.XY(x)={PX|P(x)=(P0,P1(x),P2(x),P3(x),),P00,Pn(x)0,n1,x[0,)}.Y(x)X.Y(x):PyP0y0,Pnyn,n1,P,yY(x).Y(x).T(t)Y(x)Y(x).PD(A)Y(x),q*(x)=P(1,1,1,1,).q*X*,P,q=P(P0+n=10Pn(x)dx)=P2=|||q|||2.(11)(11)q*(P),(P)={q*X*|P,q*=P2=|||q|||2}.PY,q*X*,(A+U+E)P,q*=P-+P0+0r(x)P1(x)dx+P0-dP1(x)dx-(++r(x))P1(x)dx+n=2P0+Pn-1(x)-dPn(x)dx-(++r(x))Pn(x)+-1Pn+1(x)dx=0.(12)(12)(A+U+E).