广东高考文科数学试题及答案(完美版)

2013广东高考文科数学试卷及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合22|20,,|20,SxxxxRTxxxxR，则ST（）A.0B.0,2C.2,0D.2,0,2【答案】A；【解析】由题意知0,2S，0,2T，故0ST；2.函数lg11xyx的定义域是（）A.1,B.1,C.1,11,D.1,11,【答案】C；【解析】由题意知1010xx，解得1x且1x，所以定义域为1,11,；3.若34ixyii，,xyR，则复数xyi的模是（）A.2B.3C.4D.5【答案】D；【解析】因为34ixyii，所以34xiyi，根据两个复数相等的条件得：3y即3y，4x，所以xyi43i，xyi的模224(3)5；4.已知51sin25，那么cos（）A.25B.15C.15D.25【答案】C；【解析】51sinsin()cos()cos()cos22225；5.执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A.1B.2C.4D.7【答案】D；【解析】1i时，1(11)1s；2i时，1(21)2s；3i时，2(31)4s；4i时，4(41)7s；图1图26.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（）A.16B.13C.23D.1【答案】B；【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积111112323V；7.垂直于直线1yx且与圆221xy相切于第Ⅰ象限的直线方程是（）A.20xyB.10xyC.10xyD.20xy【答案】A；【解析】设所求直线为l，因为l垂直直线1yx，故l的斜率为1，设直线l的方程为yxb，化为一般式为0xyb；因为l与圆相切221xy相切，所以圆心(0,0)到直线l的距离12b，所以2b，又因为相切与第一象限，所以0b，故2b，所以l的方程为20xy；8.设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若//,//ll，则//B.若,ll，则//C.若,//ll，则//D.若,l//，则l【答案】B；【解析】若与相交，且l平行于交线，则也符合A，显然A错；若,//ll，则，故C错；,l//，若l平行交线，则//l，故D错；9.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为1,0F，离心率等于12，则C的方程是（）A.22134xyB.22143xyC.22142xyD.22143xy【答案】D；【解析】由焦点可知1,0F可知椭圆焦点在x轴上，由题意知11,2cca，所以222,213ab，故椭圆标准方程为22143xy；10.设a是已知的平面向量且0a，关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使abc；②给定向量b和c，总存在实数和，使abc；③给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；④给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D；【解析】因为单位向量（模为1的向量，方向不确定）和一个不为零的实数可以表示任何一个向量，由题意可知A,B,C,D均正确；二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11~13题）11.设数列na是首项为1，公比为2的等比数列，则1234aaaa____________；【答案】15；【解析】由题意知11a，22a，34a，48a，所以；1234aaaa124815；12.若曲线2lnyaxx在点1,a处的切线平行于x轴，则a=_____________；【答案】12；【解析】因为2lnyaxx，所以12yaxx，因为曲线2lnyaxx在点1,a处的切线平行于x轴，所以1210xya，所以12a；13.已知变量,xy满足约束条件30111xyxy，则zxy的最大值是_____________；【答案】5；【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1),(1,2),(1,1),(1,4)，代入可知z的最大值为145z；（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为2cos，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为___________________；【答案】22(1)1xy；【解析】因为曲线C的极坐标方程为2cos；所以2cos2cos1cos2x①，sin2sincossin2y②；①可变形得：cos21x③，②可变形得：sin2y；由22sin2cos21得：22(1)1xy；15.（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，3AB，3BC，BEAC，垂足为E，则ED=___________；【答案】212；【解析】因为在矩形ABCD中，3AB，3BC，BEAC，所以030BCA，所以03cos3032CECB；在CDE中，因为060ECD，由余弦定理得：22222033331212cos603232224DECECDCECD，所以212CD；三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数2cos,12fxxxR.（1）求3f的值；（2）若3cos5，3,22，求6f.【答案与解析】（1）22cos2cos21331242f；（2）因为3cos5，3,22，所以234sin155；2cos2cos2coscossinsin6612333f314332462525210；17.（本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）80,8585,9090,9595,100频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在90,95的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在80,85和95,100的苹果中共抽取4个，其中重量在80,85的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80,85和95,100中各有一个的概率；【答案与解析】（1）重量在90,95的频率200.450；（2）若采用分层抽样的方法从重量在80,85和95,100的苹果中共抽取4个，则重量在80,85的个数541515；（3）设在80,85中抽取的一个苹果为x，在95,100中抽取的三个苹果分别为,,abc，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)xaxbxcabacbc6种情况，其中符合“重量在80,85和95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)xaxbxc种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80,85和95,100中各有一个”为事件A，则事件A的概率31()62PA；18.（本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，,DE分别是,ABAC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF，其中22BC.（1）证明：DEBCF//平面；（2）证明：CFABF平面；（3）当23AD时，求三棱锥FDEG的体积FDEGV.图4图5（1）证明：在图4中，因为ABC是等边三角形，且ADAE，所以ADAEABAC，//DEBC；在图5中，因为//DGBF，//GEFC，所以平面DGE//平面BCF，所以DEBCF//平面；（2）证明：在图4中，因为因为ABC是等边三角形，且F是BC的中点，所以AFBC；在图5中，因为在BFC中，12,22BFFCBC，所以222BFFCBC，BFCF，又因为AFCF，所以CFABF平面；（3）因为,AFCFAFBF，所以AF平面BCF，又因为平面DGE//平面BCF，所以AF平面DGE；所以11111113333232336324FDEGDGEVSFGDGGEFG；19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足2*1441,nnSannN，且2514,,aaa构成等比数列；（1）证明：2145aa；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1223111112nnaaaaaa.（1）证明：因为2*1441,nnSannN，令1n，则212441Sa，即22145aa，所以2145aa；（2）当2n时，221144441411nnnnnaSSanan2214nnaa，所以221(2)nnaa，因为na各项均为正数，所以12nnaa；因为2514,,aaa构成等比数列，所以22145aaa，即2222(24)(6)aaa，解得23a，因为2145aa，所以11a，212aa，符合12nnaa，所以12nnaa对1n也符合，所以数列na是一个以11a为首项，2d为公差的等差数列，1(1)221nann；（3）因为111111()(21)(21)22121nnaannnn，所以12231111111111111()()()21323522121nnaaaaaann111111111112133521212121212nnnnn；所以对一切正整数n，有1223111112nnaaaaaa.20.（本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,0Fcc到直线:20lxy的距离为322.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线,PAPB，其中,AB为切点.（1）求抛物线C的方程；（2）当点00,Pxy为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值.【答案与解析】（1）因为抛物线焦点0,0Fcc到直线:20lxy的距离为322所以23222cd，又因为0c，所以解得1c，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C的方程为24xy；（2）因为抛物线的方程为24xy，即214yx，所以12yx，设过00,Pxy点的切线l与抛物线的切点坐标为21(,)4mm，所以直线l的斜率200