选修2-3课件1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

1.3.2杨辉三角和二项式系数性质复习回顾:二项式定理及展开式:011()()nnnknkknnnnnnabCaCabCabCbnN二项式系数1knkkknTCab(0,1,,)knCkn通项计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:通过计算填表，你发现了什么？n(a+b)n展开式的二项式系数12345611121133114641151010511615201561每一行的系数具有对称性,除此以外还有什么规律呢?111211331146411510105116152015611()ab2()ab3()ab4()ab5()ab6()ab上表写成如下形式:1721353521717()ab………………1Cn-11Cn-12……Cn-1k-1Cn-1k……Cn-1n-21………………能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗?111211331146411510105116152015611()ab2()ab3()ab4()ab5()ab6()ab上表写成如下形式:111211331146411510105116152015611()ab2()ab3()ab4()ab5()ab6()ab上表写成如下形式:①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.mnmnnCC11rrrnnnCCC杨辉三角这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：()nab012C,C,C,,Cnnnnn从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：Crn()fr0,1,2,,n当n=6时,其图象是7个孤立点f（r）r63O6152011.对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．CCmnmnn图象的对称轴：2nr二项式系数的性质f（r）r63O6152012.增减性与最大值1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnnnnnknkkkk所以相对于的增减情况由决定．Ckn1Ckn1nkk二项式系数的性质由：1112nknkk12nk可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。f（r）rnO2n2n122nOnf（r）n为奇数122nn为偶数当n是偶数时，中间的一项取得最大值.2nnC当n是奇数时，中间的两项和相等,且同时取得最大值12nnC12nnC3.各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：1ab012CCCC2nnnnnn这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于()nab2n同时由于，上式还可以写成：0C1n123CCCC21nnnnnn这是组合总数公式．二项式系数的性质一般地，展开式的二项式系数有如下性质：nba)(（1）nnnnCCC,,10mnnmnCC（2）（3）当时，（4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC当时，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210例1.证明:在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．01()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb1,1ab令0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC02130()()nnnnCCCC0213nnnnCCCC=2n-1在展开式证明:得即所以赋值法即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．课堂练习：1）已知，那么=；2）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；591515,CaCb1016C()nab3.在(a＋b)20展开式中，与第五项的系数相同的项是().A第15项B第16项C第17项D第18项C4.在(a＋b)10展开式中，系数最大的项是().A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项A5.在(a－b)10展开式中，系数最大的项是().A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项D6.在(a＋b)11展开式中，系数最大的项是().A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项C7.在(a－b)11展开式中，系数最大的项是().A第6项B第7项C第6项和第7项D第5项和第7项B例2、若展开式中前三项系数成等差数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。42xn1(x+)9.若的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项.35211()nxx解：∵展开式中各项的二项式系数与该项的的系数相等∴由已知可得：2n-1=1024解得n=11，∴有两个中间项分别为T6=462x-4，T7=462x15618.求二项式(2-3x)10展开式所有项系数的和二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。内容小结