二项式定理和性质

1.在n=1,2,3时，写出并研究(a+b)n的展开式.(a+b)1=,a+b=C10a+C11b2.那么n=4时呢？(a+b)2=a2+2ab+b2＝C20a2+C21ab+C22b2322333aababb3)(ba=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3a4a3ba2b2ab3b4都不取b取一个b取两个b取三个b取四个b项系数C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)【问题2】(a+b)4展开有哪些项？各项的系数是什么？结果：40413222334444444()CCCCCabaabababb发现规律：对于（a+b）n=个n)ba()ba)(ba(的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个括号中取b(其余括号中取a)的组合数.那么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？rnC将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？归纳提高引出定理，总结特征011222()nnnnnnnknkknnnnabCaCabCabCabCb这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的，其中（k=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，该项是指展开式的第项，展开式共有_____个项.knC二项式定理:一般地，对于nN*，有：011222()nnnnnnnknkknnnnabCaCabCabCabCb展开式二项式系数knkknCabk+1n+11(0,1,2,)knkkknTCnabk1.系数规律：012CCCCnnnnn,,,,2.指数规律：①各项的次数均为n；②其中每一项中a的次数由n降到0,b次数由0升到n.3.项数规律：二项和的n次幂的展开式共有n+1个项.4.展开式中的每一项都来自于n个括号的各个括号.注.二项式定理(公式)的特点011CCCC()rnnnnnnnnnkknabaabbab5.注意区别二项式系数与项的系数的概念项的系数为：二项式系数与数字系数的积,即字母的系数.C(0,1,2,,)knkn二项式系数为特别地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替(a-b)n=Cnan-Cnan-1b+…+(-1)kCnan-kbk+…+(-1)nCnbn01knn)11(n212211nkknnnnnnxCxCxCxCx（）01CCCnnnn3、)(Nn011()nnnknkknnnnnnabCaCabCabCb二项展开式定理:x=1时61()6123xx：展开，并求第项的二项式系数和第例项的系数.解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2)(2)(2)xCxCxCxx1=[(24256666(2)(2)]CxCxC32236012164192240160xxxxxx=第三项的二项式系数为2615C第六项的系数为5562(1)12C7)2x:(1)求（1+2的展开式的第例4项的系数931)xxx(2)求（的展开式中的系数和中间项解:37333317(1)1(2)280TCxx第四项系数为2809921991(2)()(1)rrrrrrrTCxCxx339923,84rxC3由得r=3.故的系数为(-1)4944419595551915,6,()1261126()TCxxxTCxxx中间一项是第项(0,1,2,,9)r(2)：由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23(x例3(1)：试判断在的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.8312xx解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：882443188311122rrrrrrrrxTCCxx由题意可知，244063rr故存在常数项且为第7项，常数项86660781172TCx常数项即项.0x例3(1)：试判断在的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.8312xx(0,1,2,,8)r100,,.236,0100.0,6,12,,96,17.rrTrr均为整数时为有理数为的倍数且即r为展开式中共有项有理项解：的展开式的通项公式为：1003)23(x10010010033211001003232rrrrrrrrTCxCx012100r，，，，点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高.有理项即整数次幂项(2)：由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23(x练习1、求的展开式常数项。93()3xx1999219931()()()333rrrrrrrrrxTCCxx06.rr1由9-r-得26966791()322683TC解:练习22345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中,的系数等于___________2x解:仔细观察所给已知条件可直接求得的系数是2x02C13(1)C224(1)C335(1)C20解法2运用等比数列求和公式得5(1)[1(1)]1(1)xxx原式6(1)(1)xxx在的展开式中,含有项的系数为6(1)x3x3620C所以的系数为-202x二项式定理的逆用011222112122nnnnnnnnnCCCC原式(12)3nn例4化简12(1)1242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解(1):将原式变形例4计算并求值12(1)1242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解:(2)原式055(1)Cx145(1)Cx235(1)Cx325(1)Cx45(1)Cx55C55C5[(1)1]1x51x逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用1、二项式定理及结构特征011222()nnnnrnkknnnnnnnabCaCabCabCabCb2、二项式系数与项系数不同knkknCab作用：求任一项；求某一项系数关键：明确k3、通项公式Tk+1=0122(1)nkknnnnnnnxCCxCxCxCx4、定理特例小结：1001001）（78r100r10099110010001007C7C7C100100199100C7C余数是1，所以是星期四）（99100990100C7C711008探究：今天是星期三，那么天后的这一天是星期几？变式:若将除以9，则得到的余数是多少？1008变式:若将除以9，则得到的余数是多少？10081001001）（98r）（1r100r10099110010001009C9C9C01001001991009C9C所以余数是1，思考：若将除以9，则得到的余数还是1吗？101881.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质复习提问1.二项式定理的内容(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-kbk+…+Cnbn01kn右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；nnrnnnnCCCCC,,,,210knkknCab2.二项式系数:3.二项展开式的通项Tk+1=针对(a+b)n的标准形式而言(k=0,1,2,…n)4.在定理中，令a=1，b=x，则nnnrrnnnnnxCxCxCxCCx2210)1(一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnknkknnnnabCaCabCabCabCb二项定理:新课引入二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：nba)(nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：rnC)(rfn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n①对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr二项式系数的性质2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，知识对接测查11、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是()A第２项B第３项C第４项D第５项则n=__________B8析:26268nnCCn②增减性与最大值112111()()()CC()!kknnnnnnknkkkk由于：所以相对于的增减情况由决定knC1Cknkkn1二项式系数的性质由：2111nkkkn即二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。21nk可知，当时，因此,当n为偶数时,中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数12Cnn12Cnn相等，且同时取得最大值。②增减性与最大值二项式系数的性质1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为；在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为.510C611C511C3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。462C511最大的系数呢？知识对接测查22.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数最大。解:第8、9项的二项式系数815715CC与即6435最大。611462C③各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n212CCCC321nnnnnn二项式系数的性质例1证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令，则：1,1bannnnnnnnCCCCC)1(113210nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)()()(03120nnnnCCCC赋值法证明：1222nn3n1n2n0nCCCC性质4(奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和)：531420nnnnnnCCCCCC归纳提高121010101013579111111111111111._____;_____.CCCCCCCCC