2018二次函数压轴题题型归纳

1一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式：22BABAxxyyAB2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：22BABAyyxx，直线11bxky（01k）与22bxky（02k）的位置关系：（1）两直线平行21kk且21bb（2）两直线相交21kk（3）两直线重合21kk且21bb（4）两直线垂直121kk3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：①用和参数的其他要求确定参数的取值范围；②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程01222＝－mxmx有两个整数根，5＜m且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线3132xmmxy与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程23(1)230mxmxm（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。解：当0m时，1x；当0m时，032m，mmx213，mx321、12x；综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22mmxxy（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程xmxy122；∴01022xxy，解得：11xy；∴抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。（题目要求等价于：关于m的方程xmxy122不论m为何值，方程恒成立）小结．．：关于x的方程bax有无数解00ba27、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线1l、2l，点A在2l上，分别在1l、2l上确定两点M、N，使得MNAM之和最小。（2）如图，直线1l、2l相交，两个固定点A、B，分别在1l、2l上确定两点M、N，使得ANMNBM之和最小。（3）如图，BA、是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，S△PAB=1/2·PM·△x=1/2·AN·△y9、函数的交点问题：二次函数（cbxaxy＋＋＝2）与一次函数（hkxy＋＝）（1）解方程组hkxycbxaxy＋＝＋＋＝2可求出两个图象交点的坐标。（2）解方程组hkxycbxaxy＋＝＋＋＝2，即02＝－＋－＋hcxkbax，通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点0＞仅有一个交点0没有交点0＜10、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度3（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移2121kkll＝∥、2121xxyyk平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等22BABAxxyyAB直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。22BABAxxyyAB等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等【例题精讲】一基础构图：y=322xx（以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大1在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标2在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P，使得ACP面积最大，求出P坐标★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为直角三角形，求出P坐标或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，求出P坐标OxyABCDOxyABCDOxyABCD4★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标二综合题型例1(中考变式）如图，抛物线cbxxy2与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？OxyABCD5例2考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．例3考点：讨论等腰如图，已知抛物线y＝21x2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．例4考点：讨论直角三角⑴如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）．(A）2个（B）4个（C）6个（D）7个DBCOAyxEBCOA备用图yxyxBAFPx＝1CO6⑵已知：如图一次函数y＝21x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝21x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝21x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．OAByCxDE2BAyOCx7综合练习：1、平面直角坐标系xOy中，抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)，OB＝OC，抛物线的顶点为D。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，若2QBQA，求点Q的坐标和此时△QAA的面积。2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点30，C，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为03，。（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：2的两部分，求出此时点M的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线xxmy222与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以QPMA、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。4、已知关于x的方程2(1)(4)30mxmx。（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；8（2）若正整数m满足822m，设二次函数2(1)(4)3ymxmx的图象与x轴交于AB、两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（4）若过点D（0，12）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且MDDN＝13，求该直线的表达式．题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y=x2+mx+m-5，（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．9题型三、抛物线方程的整数解问题例1．已知抛物线222(1)0yxmxm与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为_____________例2．已知二次函数y＝x2－2mx＋4m－8．（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；（2）以抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线y＝x2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数．．m的值．题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1．已知抛物线2yxbxc（其中b0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果抛