矩阵相似的性质与应用的研究

-1-矩阵相似的性质与应用的研究1引言矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。2矩阵相似的定义与基本性质2.1矩阵相似的定义令nmCS为非奇异矩阵，考察矩阵nmCA的线性变换ASSB1令线性变换B的特征值为，对应的特征向量为y，即yBy将式ASSB1代入上式，即有yASyS1或)()(SySyA令Syx或xSy1，则式)()(SySyA可以写作xAx比较yBy和xAx两式可知，矩阵A和ASSB1具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量y是矩阵A的特征向量x的线性变换，即xSy1。由于矩阵-2-A和ASSB1的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。于是：设A、B都是n阶方阵，若有可逆方阵S，使BASS1，则称B是A的相似矩阵。或者说矩阵A与B相似。对A进行运算App1称为对A进行相似变换。可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换阵。2.2矩阵相似的一些基本性质：自反性：AA~。对称性：BA~则AB~。传递性：BA~及CB~可得：CA~。如果n阶矩阵A,B相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。相似矩阵另外的一些特性：1)相似矩阵有相同的秩。2)相似矩阵的行列式相等。3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。4)BA~则kkBA~，Nk、TTBA~、11~BA（若A，B均可逆）、BEAE从而A，B有相同的特征值。3相似对角矩阵的有关性质3.1矩阵可相似对角化的引入与定义设V是复数域C上的n维线性空间，T是V的一个线性变换。又neee,,,21与n,,,21是V的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是P。则线性变换T在这两组基下的矩阵A与B相似，即APPB1我们自然会问：矩阵A可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基n,,,21，使得线性变换T在这组基下的矩阵B是个对角矩阵呢？-3-我们逐步解决这个问题。首先设想矩阵A能相似与一个对角矩阵，即设nAPP211(1)因而有nPAP21(2)若把P写成分块矩阵),,,(21nXXXP，这里nXXX,,,21代表P的n个列向量。应用矩阵乘法规则，容易验证),,,(21nAXAXAXAP，),,,(2121nnXXXP故由(2)式可得),,2,1(niXAXiii(3)或),,2,1(0)(niXAEii。这说明，若A能够与对角矩阵相似，则可逆矩阵),,,(21nXXXP的每个-4-列向量（非零向量）iX都满足(3)式。简言之，对于n阶矩阵A，n维列向量X，并且存在n个线性无关的特征向量nXXX,,,21相应的特征值分别为n,,,21即有),,2,1(niXAXiii取),,,(21nXXXP最终可得到nAPP211即A与对角形矩阵相似。3.2矩阵可相似对角化的性质（1）如果两个矩阵A和B都可以相似同一个对角矩阵P，那么BA~。（2）如果n阶矩阵A的每个iS重特征根i，有iiSnAE）秩（则A与对角矩阵相似，否则不相似，其证明如下：证明：设n阶矩阵A的互异特征根为i,,,21，其重数分别为iSSS,,,21，则有nSSSi21（A必有n个特征根），而由iiSnAE）秩（式得到),,2,1()()(iiSSnnAErniii。即齐次线性方程组0XAEi）（的基础解系有iS个解向量。由),,2,1()()(iiSSnnAErniii式知道A有n个线性无关的特征向量，故可得到A与对角矩阵相似。（3）n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量。（4）数域P上的n级矩阵A可相似对角化的充分必要条件是对每个特征值均有几个重数等于代数重数。（5）数域P上的n级矩阵A可相似对角化的充分必要条件是A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积。-5-定理：n级矩阵A可相似对角化的充分必要条件是：nn12111VVV维维维其中1，2,…，k是A的所有互不相同的特征根。证明：必要性若A可相似对角化，则iiriV维，又由nrrrk21，故有nn12111VVV维维维充分性：若nn12111VVV维维维，则A有n个线性无关的特征向量，故A可相似对角化。3.3相似矩阵与若尔当标准形虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形J。由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它不仅容易求出矩阵A的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。定义：形如111iiiiiiimmJ的方阵称为im阶若尔当块。其中i可以是实数，也可以是复数。定理：矩阵~AB的充要条件是他们相应的特征矩阵IAIB。每个n阶复矩阵A都与一个若尔当标准形J相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵A唯一决定。复矩阵A可对角化的充要条件是A的特征矩阵的初等因子全为一次式。4矩阵相似的应用-6-4.1矩阵相似在代数方面的应用.例1.某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将61熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及时间至年终考核有52成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为nx和ny，记成向量nnyx。（1）求11nnyx与nnyx的关系式并写成矩阵形式:11nnyx=Annyx;（2）验证141，112是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当212111yx时，求11nnyx。解：（1）按题意有)61(53)61(526511nnnnnnnyxyyxxx化简得nnnnnnyxyyxx531015210911对其用矩阵表示即为11nnyx=5310152109nnyx，于是5310152109A（2）令1114),(21P，则由05P知，1，2线性无关。因-7-1114A。故1为A的特征向量，且相应的特征值11。因22212121A，故2为A的特征向量，且乡音的特征值为212。（3）由于有11nnyx=Annyx=2A11nnyx==nA11yx=nA2121。由21100APP，有12100PPA。于是有12100PPAnn又4111511P，故4111)21(001111451nnA=nnnn)21(41)21(1)21(44)21(451。因此有11nnyx=nA2121=nn)21(32)21(38101例2著名的Fibonacci数列0,1,1,2,3,5,8,13,…利用矩阵特征值、对角化相似解决这个问题，并求1limnnnuu．解：这个数列的递推关系为2,1,0,12kuuukkk其中(1)初始条件为1,010uu．令-8-,2,1,0,1kuuUkkk因为kkkuuu12，所以kkkkuuuu1120111(2)取0111A，则(2)式成为kkAUU1(3)由(3)式得出0UAUkk(4)于是，欲求Fibonacci数列的通项公式，只要计算kA，我们利用A的相似简化来计算kA。A的特征多项式为12AE，它的两个根：)51(211，)51(212，是A的特征值．因此A可对角化．解齐次线性方程组0))51(21(XAE得到它的一个基础解系11)51(2111．-9-同理可得0))51(21(XAE的一个基础解系是11)51(2122．令1121U，则21100AUU于是1221121112212112111511151001100kkkkkkkkUUA(5)从(4)式及初始条件得011kkkAuu(6)比较(6)式两边的第2个分量得kkkkku)251()251(51)(5121(7)这就是Fibonacci数列的通项公式。那么接下来就容易算出：215111limnnnuu-10-4.2相似矩阵与变系数线性方程间的关系为求变系数方程组xtAx)(。的解，其中21xxx，)(tA是22连续函数矩阵：)()()()()(22211211tatatatatA(1)定义：设)(tA是22函数矩阵。若存在非奇异常数矩阵P，使得PtAPtB)()(1，则称)(tA和)(tB相似。当然在变换Pyx下，方程组（1）可以化为方程组ytBy)(。（2）其中21yyy，PtAPtB)()(1。只要求出方程组（2）的解，即可求出方程组（1）的解。反之亦然，即方程组（1）与方程组（2）等价的。引理设)(tA、)(tB均为22函数矩阵，若)(tA和)(tB相似，则)()(tAEt与)()(tBEt相似，其中E为单位矩阵，)(t为t的函数。4.3相似矩阵与微分方程间的关系对于一阶齐次线性微分方程组11111221221122221122()()()()()()()()()nnnnnnnnnndxaxtaxtaxtdtdxaxtaxtaxtdtdxaxtaxtaxtdt其中()iixxt是自变量t的函数，(,1,2,,)nnijaCijn。设-11-111212122231323nnnaaaaaaAaaa，12()()()()