相似矩阵的性质及应用

华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2013年11月6日摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值英文题目：ThepropertiesandapplicationofsimilarmatrixAbstract:Therearealotofapplicationsaboutsimilarmatrix.Matrixforfurtherresearchistheconceptofsimilaritymatrixcharacteristics,andthatpartoftheproblemcanbeconvertedintosimilarproblemswithadiagonalizationmatrixtosimplifytheproblemstudy,whileothersmatrixcannotbesimilartoadiagonalmatrix,sothiskindofproblemcanonlyuseadefinitionorifandwhenthestandardtosolve.Forexample,wecandiscusstheintegralityofthemethodbyusingthepropertiesofsimilarmatricestoconfirmunknownelementsandcharacteristicsubspacesofsimilarmatricesbelongtothesamecharacteristicvalueareisomorphism.Alsowemaydiscusstheequivalentconditionsforsimilarmatricesandtheircharacteristicpolynomialandtheircorrespondingresults,especially,applicationsofdigitalizationmatricesinadvancedalgebratheoryandothersubjectsareprobedinto.InthispaperIwillgiveoutsomecorrespondingpropertiesofsimilarmatricesandshowtheirappliance.Keywords:similarmatrices;diagonalmatrix;Jordan’snormalform;characteristicvalue;characteristicvector引言：矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。1.矩阵相似的定义与基本性质1.1矩阵相似的定义设A,B是n阶方阵,如果存在可逆阵P使得P-1AP=B,则称矩阵A与B相似.若矩阵A相似于对角阵,则称A可相似对角化,即存在可逆阵P使),,(2,11ndiagAPP,n,,1为A的n个特征值.令nmCS为非奇异矩阵，考察矩阵nmCA的线性变换ASSB1令线性变换B的特征值为，对应的特征向量为y，即yBy将式ASSB1代入上式，即有yASyS1或)()(SySyA令Syx或xSy1，则式)()(SySyA可以写作xAx比较yBy和xAx两式可知，矩阵A和ASSB1具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量y是矩阵A的特征向量x的线性变换，即xSy1。由于矩阵A和ASSB1的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。于是：设A、B都是n阶方阵，若有可逆方阵S，使BASS1，则称B是A的相似矩阵。或者说矩阵A与B相似。对A进行运算App1称为对A进行相似变换。可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换阵。1.2矩阵相似的一些基本性质：自反性：AA~。对称性：BA~则AB~。传递性：BA~及CB~可得：CA~。如果n阶矩阵A,B相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。相似矩阵另外的一些特性：1)相似矩阵有相同的秩。2)相似矩阵的行列式相等。3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。4)BA~则kkBA~，Nk、TTBA~、11~BA（若A，B均可逆）、BEAE从而A，B有相同的特征值。5).若A与B都可对角化,则A与B相似的充分条件是A与B由相同的特征多项式.6).A的属于同一特征值i的特征向量的线形组合只要不是零向量,仍是对应i的特征向量.7).A的属于不同特征值的特征向量线形无关.8).实对称矩阵A的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.9).若是实对称矩阵A的r重特征值,则A对应特征值恰有r个线性无关的特征向量.10).任何一个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵J相似.11).对n阶方阵A，以下三条等价:⑴A可对角化;⑵A有n个特征值（重根按重数计），且r（＞1）重特征值;⑶A有n个线性无关的特征向量.12).对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.1.3相似矩阵与若尔当标准形虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形J。由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它不仅容易求出矩阵A的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。定义：形如111iiiiiiimmJ的方阵称为im阶若尔当块。其中i可以是实数，也可以是复数。定理：矩阵~AB的充要条件是他们相应的特征矩阵IAIB。每个n阶复矩阵A都与一个若尔当标准形J相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵A唯一决定。复矩阵A可对角化的充要条件是A的特征矩阵的初等因子全为一次式。2.相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.2.1将常系数线性微分方程组.;;22112222121212121111nnnnnnnnnnuauauadtduuauauadtduuauauadtdu(2-1)写成矩阵形式Audtdu(2-2)其中u=(Tnuuu),,,21,nnijaA*)(为系数矩阵,令(3-2)式的解u=xet,(2-3)即(Tnuuu),,,21=Tntxxxe),,,(21.将(2-3)式代入（2-2）得xet=Axet=Axet,化简得XAX,即(2-3)式中为A的特征值,X为对应的特征向量;若A可对角化,则存在n个线性无关的特征向量,,,,21nxxx于是得到(2-2)式的n个线性无关的特解.u1=111xet,u2=22xet,,un=ntxen.它们的线性组合uc1111xet+c222xet+…+cnntxen,(2-4)(其中nccc,,,21为任意常数)为(2-1)式的一般解,将(2-4)式改写成矩阵形式u=),,,(21nxxxtttneee21nccc21,记c=(nccc,,,21)T,te=diag(tttneee,,,21)p=),,,(21nxxx,则(2-1)式或(2-2)式有一般解cpeut(2-5)对于初值问题00,utuudtdu(2-6)解为01uppeut(2-7)因为t=0代入(2-5)式得c=01up.例2解线性常系数微分方程组.2;54;313212211xxdtdxxxdtdxxxdtdx已知初始值为:.2)0(,1)0(,1)0(321xxx解本题的初始值问题为TxxAxdtdx)2,1,1()0(0其中110450102A,可得A的约当标准形,即有可逆矩阵P=012025111,使3001300021JAPP.由(2-7)式,该初值问题的解为01xPPeXtJ(2-8)其中,!)(!2)(2ntJtJtJIentJ(2-9)nnnnnnnCJ30033000230013000211(2-10)将(2-10)式代入(2-9)式得tttttJeteeee333200000(2-11)再将(2-11)式及1,PP代入(2-8)式得tttttttteteeteteteeetxtxtxx32333332321)34(2)61()31(21101202511300000111520210)()()(2.2对于n阶线性齐次常系数微分方程1111()()()()0nnnnnndxtdxtdxtaaaxtdtdtdt(2-12)可令2112321,,,,nnndxdxdxxxxxxdtdtdt于是可得与方程(2-12)同解的方程组12231121nnnndxxdtdxxdtdxaxaxaxdt(2-13)式(2-13)可写成矩阵形式dXAXdt(2-14)其中12(,,)TnXxxx,12(,,,)TndxdxdxdXdtdtdtdt,11010000001nnAaaa于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.例2.求解微分方程323234120dxdxdxxdtdtdt(2-15)解令21232,,xxdxdxxxdtdt于是(2-15)式可变成等价的方程组122331231243dxxdtdxxdtdxxxxdt即dXAXdt其中123(,,)TXxxx,312(,,)TdxdxdxdXdtdtdtdt,0100011243A可求得A的特征值为1233,2,2，对应的特征向量分别为123(1,3,9),(1,2,4),(1,2,4)TTTXXX于是由上例知,312112233tttXCCCXeXeXe322123111322944tttCCCeee从而3221123tttCCCxxeee其中(1,2,3)iCi为任意常数.3相似矩阵在现实生活中的应用