高考数学理科压轴小题组合练(B)

1压轴小题组合练(B)1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C的方程为()A.x216＋y29＝1B.x25＋y24＝1C.x29＋y25＝1D.x225＋y220＝1答案B解析把y＝x＋3代入椭圆方程，得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由于只有一个公共点，所以Δ＝0，得a2＋b2＝9，又ca＝55，所以b2a2＝45，解得a2＝5，b2＝4.所以椭圆的方程为x25＋y24＝1.2.(2018·淮南模拟)已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN分别与AB，AC交于点M，N，且AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(x，y0)，则3x＋y的最小值是()A.83B.72C.52D.43＋233答案D解析如图，∵M，N，G三点共线，∴MG→＝λGN→，∴AG→－AM→＝λ(AN→－AG→)，∵G是△ABC的重心，∴AG→＝13(AB→＋AC→)，∴13(AB→＋AC→)－xAB→＝λyAC→－13AB→＋AC→，∴13－x＝－13λ，13＝λy－13λ，解得(3x－1)(3y－1)＝1.结合图象可知12≤x≤1，12≤y≤1.令3x－1＝m，3y－1＝n12≤m≤2，12≤n≤2，故mn＝1，x＝1＋m3，y＝1＋n3，故3x＋y＝1＋m＋1＋n3＝43＋m＋n3≥43＋213mn＝43＋233，2当且仅当m＝33，n＝3时等号成立.3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AB上一点，且AE＝1，BE＝3，以E为球心，线段EC的长为半径的球与棱A1D1，DD1分别交于F，G两点，则△AFG的面积为()A.42－2B.32C.22＋2D.4答案D解析正方体的棱长为4，则DE＝17，EC＝5.作EH⊥A1B1于H，则EF＝EG＝EC＝5，A1F＝22，DG＝22，则FH＝()222＋12＝3，所以S△AFG＝1111AFAFDGADDASSS-△△四边形－S△ADG＝16－42－12()4－222－42＝16－42－12＋82－42＝4.4.设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.以F1F2为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以OF2为直径的圆与直线PF1相切，若|PF1|＝8，则双曲线的焦距等于()A.62B.6C.32D.3答案A解析如图，不妨设点P在第一象限，连接PF2，依题意知PF1⊥PF2，设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N，圆心为M，连接NM，则NM⊥PF1，因此Rt△PF1F2∽Rt△NF1M，所以|NM||PF2|＝|F1M||F1F2|，则c2|PF2|＝3c22c，解得|PF2|＝2c3，由勾股定理可得|PF1|＝|F1F2|2－|PF2|2＝2c2－2c32＝42c3，所以42c3＝8，得c＝32，故双曲线的焦距为62.5.已知抛物线T的焦点为F，准线为l，过F的直线m与T交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，M为AB的中点，若m与l不平行，则△CMD是()A.等腰三角形且为锐角三角形B.等腰三角形且为钝角三角形3C.等腰直角三角形D.非等腰的直角三角形答案A解析不妨设抛物线T的方程为y2＝2px(p0).∵点A在抛物线y2＝2px上，F为抛物线的焦点，C，D分别为A，B在l上的射影，M为AB的中点，NM是M到抛物线准线的垂线，垂足为N，准线与x轴的交点为E，如图：∴在△CMD中，|CN|＝|ND|，∴△CMD是等腰三角形，又根据抛物线定义，|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，∴∠CFD＝∠CFE＋∠DFE＝∠ACF＋∠BDF＝∠AFC＋∠BFD.可得∠CFD＝90°，又|MN||EF|，可得∠CMD90°.则△CMD是等腰三角形且为锐角三角形.6.(2018·马鞍山模拟)已知M，N为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上关于长轴对称的两点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，设k1，k2分别为直线MA，NB的斜率，则|k1＋4k2|的最小值为()A.2baB.3baC.4baD.5ba答案C解析设M(x0，y0)，N(x0，－y0)，∴k1＝y0x0＋a，k2＝－y0x0－a，∴||k1＋4k2＝y0x0＋a＋－4y0x0－a＝y0x0＋a＋4y0－x0＋a，∴|k1＋4k2|＝y0x0＋a＋4y0－x0＋a≥2y0x0＋a·4y0－x0＋a＝4y20a2－x20，由题意得y20＝b2a2(a2－x20)，所以|k1＋4k2|≥4y20a2－x20＝4b2a2a2－x20a2－x20＝4ba.7.已知棱长为6的正四面体A－BCD(四个面都是正三角形)，在侧棱AB上任取一点P(与A，B都不重合)，若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a，b，则4a＋1b的最小值为()A.72B.4C.92D.5答案C4解析由题意得13aS△BCD＋13bS△ACD＝13h·S△BCD，其中S△BCD＝S△ACD，h为以△BCD为底面的正四面体A－BCD的高.h＝62－23×32×62＝2，∴a＋b＝2.∴4a＋1b＝12(a＋b)4a＋1b＝125＋4ba＋ab≥125＋24ba·ab＝92，当且仅当a＝43，b＝23时取等号.8.双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()A.1＋22B.4－22C.5－22D.3＋22答案C解析设|AF1|＝|AB|＝m，则|BF1|＝2m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝2m－2a，∵|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m，∴m－2a＋2m－2a＝m，解得4a＝2m，∴|AF2|＝1－22m，在Rt△AF1F2中，由勾股定理得4c2＝52－2m2.∵4a＝2m，∴4c2＝52－2×8a2，∴e2＝5－22.9.(2018·河北省衡水金卷调研)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F1()c，0，过点F，F1的直线与抛物线在第一象限的交点为M，且抛物线在点M处的切线与直线y＝－3x垂直，则ab的最大值为()A.32B.32C.3D.2答案B解析由题意可知，直线FF1的方程为y＝－1cx＋1，由y＝－1cx＋1，x2＝4y，得xM＝－2＋21＋c2c，又由x2＝4y，即y′＝12x，5因此－1＋1＋c2c×(－3)＝－1，即c＝3，所以a2＋b2＝3，又a2＋b2≥2ab，即3≥2ab，当且仅当a＝b＝62时取等号，即(ab)max＝32.10.点M(3，2)到抛物线C：y＝ax2(a0)准线的距离为4，F为抛物线的焦点，点N(1，1)，当点P在直线l：x－y＝2上运动时，|PN|－1|PF|的最小值为()A.3－228B.2－24C.5－228D.5－224答案B解析∵点M(3，2)到抛物线C：y＝ax2(a0)准线的距离为4，∴2＋14a＝4，∴a＝18，∴抛物线C：x2＝8y，直线l：x－y＝2与x轴交于A(2，0)，则FA⊥l，且点N，A，F三点共线，设|AP|＝t，则|AN|＝2，|AF|＝22，|PN|＝t2＋2，|PF|＝t2＋8，设t2＋2－1＝m(m≥2－1)，则|PN|－1|PF|＝t2＋2－1t2＋8＝mm＋12＋6＝171m＋172＋67，∴m＝2－1，即t＝0时，|PN|－1|PF|的最小值为2－24.11.如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，连接PC，得到三棱锥P－BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A.7πB.5πC.3πD.π答案A解析依题意可得该三棱锥的面PCD是边长为3的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P－BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD＝3，O1D＝1及OB＝OD，可得OB＝72，则外接球的半径R＝72.所以该球的表面积S球＝4πR2＝7π.12.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是B1C1的中点，若正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球与直线EF交于点G，H，且GH＝3，若点Q是棱BB1上一个动点，则AQ＋D1Q的最小值为()A.6B.3106C.62＋2D.61＋2答案C解析设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，内切球球心为O，由题意可得内切球半径r＝a2.OE＝OF＝22a，EF＝EB2＋BB21＋B1F2＝62a，取EF中点P，则OP＝OE2－EP2＝24a，所以cos∠POG＝OPOG＝24aa2＝22，所以∠GOH＝π2，OG＝a2＝32，a＝32，把平面DD1B1B与平面AA1B1B展成一个平面，则A，Q，D1共线时AQ＋D1Q最小，最小值为D1A＝()2a＋a2＋a2＝()6＋322＋()322＝62＋2.13.(2018·天津滨海新区联考)已知正实数a，b满足2ab，且ab＝12，则4a2＋b2＋12a－b的最小值为________.答案23解析由题意得2a－b0，4a2＋b2＋12a－b＝4a2＋b2－4ab＋32a－b＝2a－b2＋32a－b＝(2a－b)＋32a－b≥23，当且仅当2a－b＝32a－b，即b＝7－32时等号成立.14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若对任意λ∈R，不等式|λBC→－BA→|≥|BC→|恒成立，则cb＋bc的最大值为________.答案5解析由题意知cosA＝b2＋c2－a22bc，b2＋c2＝2bccosA＋a2.对任意λ∈R，不等式|λBC→－BA→|≥|BC→|恒成立⇔(|λBC→－BA→|)min≥|BC→|恒成立⇔BC边上的高h大于等于|BC→|恒成立⇔h≥a，∵S△ABC＝12ah＝12bcsinA≥12a2，∴a2≤bcsinA，∴b2＋c2≤2bccosA＋bcsinA，由此可知cb＋bc≤2cosA＋sinA＝5sin(A＋φ)，其中tanφ＝2，当sin(A＋φ)7＝1时，cb＋bc取得最大值5.15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点.有下列判断：①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E－AA1O的体积为定值；④AE＋EC1的最小值为22.其中正确命题的序号是________.答案①③④解析①因为点A∉平面BB1C1C，点C∉C1E，所以直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E⊥AB1时，直线A1E⊥平面AB1C1.所以A1E⊥AC1，错误；③球心O是直线AC1，A1C的交点，底面OAA1面积不变，直线BB1∥平面AA1O，所以点E到底面距离不变，体积为定值；④将矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展开到一个面内，当点E为AC1与BB1交点时，AE＋EC1取得最小值22.所以正确命题的序号是①③④.16.(2018·四川省成都市石室中学模拟)已知四面体A－BCD的所有棱长都为6，O是该四面体内一点，且点O到平面ABC，平面ACD，平面ABD，平面BCD的距离分别为13，x，16和y，则1x＋1y的最小值是________.答案83解析该几何体为正四面体，体积为13×12×6×6×32×2＝3.各个面的面积为34×()62＝332，所以四面体的体积又可以表示为13×332×13＋x＋16＋y＝3，化简得x＋y＝32，故1x＋1y＝23×1x＋1y×()x＋y＝232＋yx＋xy≥23()2＋2＝83.