多元函数的极值及其求法

第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点，如果都适合不等式00(,)(,)fxyfxy，则称函数(,)fxy在点),(00yx有极大值00(,)fxy。如果都适合不等式),(),(00yxfyxf，则称函数(,)fxy在点),(00yx有极小值),(00yxf．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例1函数2243yxz在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243yxz的顶点。例２函数22yxz在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy平面下方的锥面22yxz的顶点。例３函数xyz在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(,0),(0000yxfyxfyx证不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值。依极大值的定义，在点),(00yx的某邻域内异于),(00yx的点都适合不等式),(),(00yxfyxf特殊地，在该邻域内取0yy，而0xx的点，也应适合不等式000(,)(,)fxyfxy这表明一元函数f),(0yx在0xx处取得极大值，因此必有0),(00yxfx类似地可证0),(00yxfy从几何上看，这时如果曲面),(yxfz在点),,(000zyx处有切平面，则切平面))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx成为平行于xOy坐标面的平面00zz。仿照一元函数，凡是能使0),(,0),(yxfyxfyx同时成立的点),(00yx称为函数),(yxfz的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数xyz的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(,0),(0000yxfyxfyx，令CyxfByxfAyxfyyxyxx),(,),(,),(000000则),(yxf在),(00yx处是否取得极值的条件如下：(1)02BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；(2)02BAC时没有极值；(3)02BAC时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数),(yxfz的极值的求法叙述如下：第一步解方程组0),(,0),(yxfyxfyx求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A，B和C。第三步定出2BAC的符号，按定理2的结论判定00(,)fxy是否是极值、是极大值还是极小值。例1求函数xyxyxyxf933),(2233的极值。解先解方程组22(,)3690,(,)360,xyfxyxxfxyyy求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。再求出二阶偏导数(,)66,(,)0,(,)66xxxyyyfxyxfxyfxyy在点(1,0)处，06122BAC又0A，所以函数在(1,0)处有极小值(1,0)5f；在点(1,2)处，0)6(122BAC，所以f(1,2)不是极值；在点(-3,0)处，06122BAC，所以f(-3,0)不是极值；在点(-3,2)处，0)6(122BAC又0A所以函数在(-3,2)处有极大值f(-3,2)=31。例2某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。解设水箱的长为xm，宽为ym，则其高应为mxy2，此水箱所用材料的面积)22(2xyxxyyxyA，即)22(2yxxyA（0x，0y）可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点),(yx。令0)2(22xyAx，0)2(22yxAy解这方程组，得：32x，32y从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。二、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在附加条件0),(yx下的可能极值点，可以先构成辅助函数),(),(),(yxyxfyxF其中为某一常数求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx（1）由这方程组解出x，y及，则其中x，y就是函数),(yxf在附加条件下0),(yx的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数),,,(tzyxfu在附加条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx(2)下的极值，可以先构成辅助函数),,,(),,,(),,,(),,,(21tzyxtzyxtzyxftzyxF其中1，2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的tzyx、、、就是函数),,,(tzyxf在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。例3求表面积为2a而体积为最大的长方体的体积。解设长方体的三棱长为zyx,,，则问题就是在条件0222),,,(2axzyzxytzyx（3）下，求函数xyzV)000(zyx，，的最大值。构成辅助函数)222(),,(2axzyzxyxyzzyxF求其对yx、、z的偏导数，并使之为零，得到0)(20)(20)(2zyxyzxxzzyyz（4）再与(10)联立求解。因yx、、z都不等于零，所以由(11)可得yx＝zyzx，zy＝zxyx．由以上两式解得zyx将此代入式(10)，便得zyx=a66这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为2a的长方体中，以棱长为a66的正方体的体积为最大，最大体积3366aV。