多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值和最值二、条件极值拉格朗日乘数法三、小结一、多元函数的极值和最值设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；1、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例1处有极小值．在函数)0,0(4322yxz例２处有极大值．在函数)0,0(22yxz例３处无极值．在函数)0,0(xyz(3)(2)(1)定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.2、多元函数取得极值的条件不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意),(yx),(00yx都有),(yxf),(00yxf,证故当0yy，0xx时，有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx处有极大值,必有0),(00yxfx;类似地可证0),(00yxfy.推广：如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.例如，点)0,0(是函数xyz的驻点，但点(0,0)不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点偏导数存在的极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：;0)0,0(,xxzyz.0)0,0(,yyzxz定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则(1)02BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；(2)02BAC时没有极值；(3)02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出所有驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.例4求函数xyyxyxf3),(33的极值。解,33),(2yxyxfx.33),(2xyyxfy求解方程组：.033,03322xyyx得驻点.,22xyyx).1,1(),0,0(,6),(xyxfxx,3),(yxfxy.6),(yyxfyy,)0,0(处在,0)0,0(xxfA,3)0,0(xyfB.0)0,0(yyfC92BAC.0因此，驻点.)0,0(不是极值点,6),(xyxfxx,3),(yxfxy.6),(yyxfyy,)0,0(处在,0)0,0(xxfA,3)0,0(xyfB.0)0,0(yyfC92BAC.0因此，驻点.)0,0(不是极值点,)1,1(处在,06)1,1(xxfA,3)1,1(xyfB.6)1,1(yyfC22)3(66BAC.027因此，驻点.)1,1(是极小值点.111311)1,1(33f极小值与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数22yxz.)0,0(处取得极小值在处偏导数但函数在)0,0(不存在。求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值例5求122yxyxz的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,解令即边界上的值为零.因为01lim22yxyxyx即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21.因为01lim22yxyxyx无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为U(x,y)=lnx+lny．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．yxyxUlnln),(200108yx三、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点,条件极值：对自变量有附加条件的极值．先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为某一常数，可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数),,,(tzyxfu在条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值。先构造函数（其中21,均为常数）),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx.0),,,(,0),,,(,0),,,(,0),,,(,0),,,(,0),,,(tzyxtzyxtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx求解方程组解出x,y,z,t即得可能极值点的坐标.解)22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx则例6求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为x,y，z.体积为V.则问题就是条件求函数的最大值.)0,0,0(zyxxyzV令),222(),,(2axzyzxyxyzzyxF,0,0,0.02222axzyzxy02222axzyzxy下，)22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx则令),222(),,(2axzyzxyxyzzyxF,0,0,0.02222axzyzxy即)4(0222)3()(2)2()(2)1()(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz,0,0,0zyx因由(2),(1)及(3),(2)得,zyzxyx,zxyxzy,0,0,0zyx因由(2),(1)及(3),(2)得,zyzxyx,zxyxzy于是，.zyx代入条件，得.02222axxxxxx,622ax解得,66ax,66ay.66az.3666666663maxaaaaV这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，所以，最大值就在此点处取得。故，最大值最大值一定存在，例7将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.解令)12(),,(23zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx则)4(,12)3(,)2(,2)1(,323322zyxyxyzxzyx由(1)，(2)得(5),32xy由(1)，(3)得(6),31xz即，得唯一驻点)2,4,6(，.691224623maxu将(5)，(6)代入(4)：123132xxx于是，得,6x,4y.2z这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结作业：70页1~6，9