立体几何答题详细解答(含高考真题)

高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A­A1B1­C1的余弦值．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又AB＝BC，设OB＝1，则A0，0，33，B(1,0,0)，B10，33，0，C0，－33，0.设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书即33y－33z＝0，x－33z＝0.所以可取n＝(1，3，3)．设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m＝(1，－3，3)．则cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝17.所以二面角A­A1B1­C1的余弦值为17.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书应试策略专题七立体几何解答题的解法1.平行、垂直位置关系的论证证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点：(1)理清平行、垂直位置关系的相互转化高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法(2)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.(3)立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.(4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑，应用时需要先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用方法之一.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法2.空间角的计算主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算.(1)两条异面直线所成的角①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线.②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.③向量法：直接利用向量的数量积公式cosθ=（注意向量的方向）.||||baba高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算.②用公式计算sinθ=(PM直线l，M∈面α,θ是l与α所成的角，n是面α的法向量）.(3)二面角①平面角的作法：(ⅰ)定义法；(ⅱ)三垂线定理及其逆定理法；(ⅲ)垂面法.||||||nPMnPM高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法②平面角计算法：(ⅰ)找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算；(ⅱ)射影面积法：cosθ=；(ⅲ)向量夹角公式：|cosθ|=，n1,n2是两面的法向量.(θ是锐角还是钝角，注意图形和题意取舍）.*求平面的法向量：①找；②求：设a,b为平面α内的任意两个向量，n=(x,y,1)为α的法向量,则由方程组，可求得法向量n.sS射影||||||2121nnnn00nbna高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4.(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．空间直线、平面夹角的向量表示(1)异面直线所成的角设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cosθ＝|a·b||a||b|.(2)线面角设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角θ满足sinθ＝|l·n||l||n|.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(3)(ⅰ)如图①，AB，CD是二面角α­l­β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角θ的大小满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书热点一空间位置关系的证明命题角度空间位置关系的证明是高考必考内容．主要是从平行和垂直两个角度考查，既可用几何法证明，又可用向量法证明.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书热点二空间角的求法命题角度空间角的求法是高考必考内容．高考中一般以如下形式命题：第(1)问考查空间位置关系的证明，常用几何法解题；第(2)问考查空间角的求法，包括线线角、线面角和面面角，其中以线面角和面面角为主，既可用几何法，又可用向量法求解.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例2](2014·浙江高考)如图，在四棱锥A­BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B­AD­E的大小．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[师生共研](1)证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝2.由AC＝2，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.所以AC⊥DE.又DE⊥DC，AC∩DC＝C，从而DE⊥平面ACD.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D­xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：D(0,0,0)，E(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,2，2)，B(1,1,0)．设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．可算得＝(0，－2，－2)，高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书由即－2y1－2z1＝0，x1－2y1－2z1＝0.可取m＝(0,1，－2)．由即－2y2－2z2＝0，x2＋y2＝0，可取n＝(1，－1，2)．于是|cos〈m，n〉|＝|m·n||m|·|n|＝33·2＝32.由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B­AD­E的大小是π6.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：由例题空间向量解法知平面ABD的法向量n＝(1，－1，2)．设直线AE与平面ABD所成的角为θ，则即直线AE与平面ABD所成的角的正弦值为714.若本例中条件不变，求直线AE与平面ABD所成角的正弦值．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书热点三立体几何中的探索性问题命题角度探索性问题是相对较难的一类问题，常见的命题角度有：(1)探求在线段上是否存在符合要求的点；(2)探求线段的长度或长度之比.常用向量法解决这类问题.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例3](2014·湖北高考)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0λ2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[师生共研]法一(几何法)：(1)证明：如图，连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1.所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书法二(向量法)：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(1)证明：当λ＝1时，因为所以，即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由可得x＋y＝0，－x＋λz＝0.于是可取n＝(λ，－λ，1)．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2,2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[典例](2014·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．课题5向量法求空间角高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[考题揭秘]本题主要考查空间线面位置关系的证明及线面角的计算，考查空间向量的概念及其运算，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、逻辑思维能力和计算能力．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[审题过程]第一步：审条件．已知四面体ABCD及其三视图，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.第二步：审结论．证明四边形EFGH是矩形及求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．第三步：建联系．第(1)问欲证EFGH是矩形，可证明四边形EFGH的两组对边分别平行．为此可利用线面平行的性质证明线线平行．第(2)问欲求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值，可根据条件建立空间直角坐标系，利用向量法求解．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[规范解答](1)证明：由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0,0)，A(0,0,1)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，(0,0,1)，＝(－2,0