第1章-状态空间表达式

1.1状态变量及状态空间表达式1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一)1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图1.5状态矢量的线性变换(坐标变换)1.4状态变量及状态空间表达式的建立(二)1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式1.6从状态空间表达式求传递函数阵1.7离散时间系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.1.1状态变量状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量，当其在t=t0时刻的值已知时，则在给定t≥t0时刻的输入作用下，便能完全确定系统在任何t≥t0时刻的行为。1.1.2状态矢量如果个状态变量用表示，并把这些状态变量看作是矢量的分量，则就称为状态矢量，记作：1.1.3状态方程以状态变量为坐标轴所构成的维空间，称为状态空间。1.1.4状态方程由系统的状态变量构成的微分方程组称为系统的状态方程。用图下所示的网络，说明如何用状态变量描述这一系统。图一根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：亦即（1）式(1)就是图1.1系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号，表示，即令并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为：或1.1.5输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。如在图1.1系统中，指定作为输出，输出一般用y表示，则有：式中(2)状态方程和输出方程合并起来，就是系统的状态空间表达式。或（3）式中或（4）1.1.6状态空间表达式在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。如上图一所示的系统，在以作输出时，从式(1)消去中间变量i，得到二阶微分方程为：其相应的传递函数为：（6）（5）回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选和作为两个状态变量，即令则得一阶微分方程组为：说明：针对一个系统，状态变量的选取不唯一。Suchas（8）设单输入-单输出定常系统，其状态变量为则状态方程的一般形式为：输出方程式则有如下形式：用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：因而多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：式中，x和A为同单输入系统，分别为n维状态矢量和n×n系统矩阵；为r维输入(或控制)矢量；为m维输出矢量；（9）（10）为了简便，下面除特别申明，在输出方程中，均不考虑输入矢量的直接传递，即令D=0。1.1.7状态空间表达式的系统框图和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号传递的关系。对于式(9)和式(10)所描述的系统，它们的框图分别如图a和b所示。1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制：积分器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。对于一阶标量微分方程：它的模拟结构图示于下图再以三阶微分方程为例：将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成它的模拟结构图示于下图同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，下图是下列三阶系统的模拟结构图。下图是下列二输出的二阶系统的模拟结构图。1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一)这个表达式一般可以从三个途径求得：一是由系统框图来建立，即根据系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空问表达式；二是从系统的物理或化学的机理出发进行推导；三是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式该法是首先将系统的各个环节，变换成相应的模拟结构图，并把每个积分器的输出选作一个状态变量其输入便是相应的然后，由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程。方块结构图状态空间表达式111sTKsTK22uy－＋例：系统方块图如下图所示。试求其状态空间表达式。例：解：惯性环节：111sTK→→11TKs111T111sTKsTK22uy－＋例：解：比例积分环节：22TKs1→→sTK22111sTKsTK22uy－＋例：解：综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：111sTKsTK22uy－＋11TKs111T22TKs1uy解：选积分器的输出为状态变量得：11TKs111T22TKs1uy2x1x1x2x状态方程：uTKxTxTKxxTKx1121111222211输出方程：1xy状态空间表达式1.3.2从系统的机理出发建立状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的输出方程。例.试求用电枢电压控制的他激电动机的状态空间表达式(输入u(t),输出q(t))aRaLaiufufRfLficonstqJf转动惯量，粘性摩擦常数，电磁转矩常数，电势常数JfmCeCaRaLaiufufRfLficonstqJf解：电压方程：运动方程：22maddCiJfdtdtqq电磁转矩转动惯量，粘性摩擦常数，电磁转矩常数，电势常数JfmCeC反电势dtdCdtdiLiRueaaaaq22maddCiJfdtdtqq解：122233231meaaaaxxCfxxxJJCRuxxxLLLyxq电压方程：运动方程：123,,axxxiqq令整理得:dtdCdtdiLiRueaaaaq状态空间表达式-矩阵形式11223301000010meaaaaxxCfxxuJJxxCRLLL123100xyxx122233231meaaaaxxCfxxxJJCRuxxxLLLyxq1.4状态变量及状态空间表达式的建立(二)考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个阶线性常系数微分方程：相应的传递函数为1.4.1传递函数中没有零点时的实现在这种情况下，系统的微分方程为：相应的系统传递函数为上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图(下图)导出。这种由中间变量到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一种最易求得的结构形式。将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出的各阶导数。至于每个积分器的输入，显然就是各状态变量的导数。从图（a），容易列出系统的状态方程：输出方程为：表示成矩阵形式，则为：顺便指出，当矩阵具有式上矩阵的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均为零。例设yx12xy3xy解：选yy58y6uy3求（A，B，C，D）21xx32xxuxxxx358632131xy则：状态方程输出方程例续:yy58y6uy3解：uxxxxxx300586100010321321321001xxxy状态空间表达式为210aaa0此时，系统的微分方程为：相应地，系统传递函数为：设待实现的系统传递函数为：因为上式可变换为（26）1.4.2传递函数中有零点时的实现令则对上式求拉氏反变换，可得：每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统的状态空间表达式：或表示为：推广到阶系统，式(26)的实现可以为：（28）状态空间方程实现非唯一，书p28,图1.16b求得其对应的传递函数为：（29）为求得令式（29）与式（26）相等，通过对多项式系数的比较得：故得：（30）也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。（31）将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的状态空间表达式：即（32）扩展到阶系统，其状态空间表达式为：（33）式中（34）或记为：例：试写出它的状态空间表达式。uuuyyyy3243,1,1,0,30123bbbbn4,2,1210aaa解：321321321113100421100010xxxyuxxxxxx能控型kkabb3311014211421410123能观型先求参数k0210211101211111bbbbaaaaaannnnnnnnnn13,3,1,00123例：试写出它的状态空间表达式。uuuyyyy3243,1,1,0,30123bbbbn4,2,1210aaa解：uxxxxxx1331421100010321321能观型13,3,1,00123321001xxxy输出方程状态方程1.4.3多输入一多输出系统微分方程的实现一双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微积分方程为：（35）同单输入一单输出系统一样，式(35)系统的实现也是非唯一的。现采用模拟结构图的方法，按高阶导数项求解：对每一个方程积分：故得模拟结构图，如下图所示：取每个积分器的输出为一个状态变量，如上图所示。则式（35）的一种实现为：或表示为：（36）1.5状态矢量的线性变换(坐标变换)1.5.1系统状态空间表达式的非唯一性对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换(或称坐标变换)。设给定系统为：（37）我们总可以找到任意一个非奇异矩阵将原状态矢量作线性变换，得到另一状态矢量设变换关系为：即代入式（37），得到新的状态空间表达式：（38）设系统的状态空间表达式为：11)0(0231202121xuxxxx2130xxy例:Tzx求时新的状态空间表达式.0226T11zTATzTBuDuCTzy01)0(xTz初值解:以z为变量的状态空间表达式形式:例续:0226T3210022631203110211ATT3110211TBuTATzTz11DuCTzy01)0(xTz初值10023110211BT06022630CTuzzz1032102115.0)0(,0621zzzy新的状态空间表达式系统特征值就是系统矩阵的特征值，也即特征方程：（43）的根。方阵A且有n个特征值；实际物理系统中，为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如为实对称方阵，则其特征值都是实数。2．系统的不变量与特征值的不变性同一系统，经非奇异变换后，得：其特征方程为：（44）1.5.2系统特征值的不变性及系统的不变量1.系统特征值式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：将特征方程写成多项式形式由于特征值全由特征多项式的系数唯一确定，而特征值经非奇异