函数的单调性证明

第1页（共23页）函数的单调性证明一．解答题（共40小题）1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）内是增函数．4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．第2页（共23页）5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．7．证明：函数y=在（﹣1，+∞）上是单调增函数．8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+∞）上为减函数．第3页（共23页）10．已知函数f（x）=x+．（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．11．证明：函数f（x）=在x∈（1，+∞）单调递减．12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调性．14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．第4页（共23页）15．求函数f（x）=的单调增区间．16．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．17．求函数的定义域．18．求函数的定义域．19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x．20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．第5页（共23页）21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．第6页（共23页）23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式．27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．28．已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．第7页（共23页）29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）31．求下列函数的解析式：（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式．第8页（共23页）35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式．37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．39．若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式．40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．第9页（共23页）第10页（共23页）函数的单调性证明参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：；∵x1＜x2＜0；∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减，设≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（），又由≤x3＜x4，第11页（共23页）则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增．3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）内是增函数．【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则：=；∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2；∴；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣（=因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数．5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．【解答】解：设x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+=（x1﹣x2）（2+），∵x1＜x2＜0，第12页（共23页）∴x1﹣x2＜0，2+＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．【解答】解：任取0≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函数在[0，+∞）是单调递增函数．7．证明：函数y=在（﹣1，+∞）上是单调增函数．【解答】解：∵函数f（x）==1﹣在在区间（﹣1，+∞），可以设﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=∵﹣1＜x1＜x2＜0，∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数；8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．第13页（共23页）【解答】证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣（﹣）=﹣=，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴若x1＜x2＜0，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．若0＜x1＜x2，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．即f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+∞）上为减函数．【解答】解：∵函数y=在区间（0，+∞），可以设0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数；10．已知函数f（x）=x+．（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）解：∵＞0对任意x∈[4，5]恒成立，第14页（共23页）∴x﹣a＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．11．证明：函数f（x）=在x∈（1，+∞）单调递减．【解答】证明：设x1＞x2＞1，则：；∵x1＞x2＞1；∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0；∴；即f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在x∈（1，+∞）单调递减．12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．【解答】证明：①在（0，1）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是减函数．②在[1，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）第15页（共23页）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调性．【解答】解：f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调递减．证明如下：在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调递减．14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣x2﹣=（x1﹣x2）+﹣=（x1﹣x2），∵0＜x1＜x2＜2∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．第16页（共23页）所以f（x）在（0，2）上是单调减函数．15．求函数f（x）=的单调增区间．【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）==1﹣的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）故答案为：（﹣∞，0），（0，+∞）16．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：；∵x1＜x2＜0；∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0；∴；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．17．求函数的定义域．【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．18．求函数的定义域．第17页（共23页）【解答】解：由．故函数定义域为{x|x＜}19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x．【解答】解：（1）f（x+）=x2+=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②；①×3﹣②×2得：5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣第18页（共23页）1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令=t，求得x=，∴f（t）=，∴f（x）=．（3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=②，由①②求得f（x）=x2+．22．已知函数y=f（x）