《组合数的性质》PPT课件

1复习巩固：1、组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC2、组合数:3、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm210242322CCCC计算有简洁明快的计算方法吗？引例1：某小组有7人:⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的选法?⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不同的选法?思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同?这一结果的组合的意义是什么？3537C3547C即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校园劳动都有35种不同的选法.新课教学：4737CC对应从7位同学中选出3位同学构成一个组合剩下的4位同学构成一个组合从7位同学中选出3位同学的组合数37C即：从7位同学中选出4位同学的组合数47C思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素,因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n–m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数,等于从这n个元素中取出n–m个元素的组合数.即mnnmnCC这就是我们今天学习的组合数的第一个性质.性质1mnnmnCC性质1的证明mnnmnCmnnmnnmnmnC)]!([)!(!)!(!!说明：2、为了使性质1在m＝n时也能成立,规定01nC1、为简化计算,当m＞时,通常将计算改为计算2nCmnCnmn3xynnCC、xyxyn或例如:20111201120102011201120102011CCC4、该性质又叫对偶法则练习（1）计算：97100C=161700（2）已知：725225xxCC,求x．414ttCCtC20（3）已知：,求x=6或7=190引例2：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．（1）从口袋内取出3个球,共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？⑶3537C解：2127C⑵⑴5638C我们发现：372738CCC这是为什么呢?我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.372738CCC思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？1211,,,1nmnaaanmC一般地，从这个不同的元素中取出个元素的组合数是，11aa这些组合可分成两类：一类含有，一类不含有，1231,,,nmnaaaanmC不含的组合是从这个元素中取出个元素组成的，共有个123111,,,1nmnaaaanmaC含有的组合是从这个元素中取出个元素与组成的，共有个；由分类计数原理，得11mnmnmnCCC性质2CCmnmn1:证明)]!1([)!1(!)!(!!mnmnmnmn)!1(!!)1(!mnmmnmnn)!1(!!)1(mnmnmmn]!)1[(!)!1(mnmn.1Cmn性质2的证明11mnmnmnCCC注:1公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．2此性质的作用:恒等变形,简化运算.34该性质又叫增一法则11mnmnmnCCC等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.11()()mmmnnnaCCaC含含素元素不元练习：mnC化简（用形式表示）90899999CCmnC89999099CC92004102005CC变式一：90100C102004C899990100-CC变式二：9099C0C-8m7mC变式三：81mC例1计算198200(1);C329999(2);CC332898(3).2CCC22002001991990021C31001009998161700321C3322388888562()CCCCC;11111)1(CCCCmnmnmnmn.21211)2(CCCCmnmnmnmn例2求证:.111111)1(CCCCCCmnmnmnmnmnmn.)()(2121111111)2(CCCCCCCCCCmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn0129456131CCCC（）计算；2222234102CCCC（）计算；例3常用的等式:111010kkkkkkCCCC一个组合数简为能使多个组合数的和化，连续使用性质11mnmnmnCCC练习：_______,8771nCCCnnn则若(1)（2）已知,C12=C11+C1177xx则n,C3241863n18则）若（nC69584737CCCC(4)计算（5）2100252423AAAA计算1456或2210CCCCC5545352515222)6(计算计算：69584737CCCC解：原式＝34567789()CCCC568489CCC568489()CCC6959CC610C410C109872104!2、数学思想：mnmnnCC11mmmnnnCCC1、组合数的两个性质⑴从特殊到一般的归纳思想．⑵取法与剩法的一一对应的思想.(3)含与不含其元素的分类思想性质CCmnnmnCCCmnmnmn11应用简化计算等式证明证明复习巩固：例1.100件产品中，有98件合格品，2件次品，从100件产品中任意抽出3件（只列式，不计算）（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？新课教学：一、有限制条件的组合问题3100C398C29812CC1982229812CCCC3983100CC练习：（1）某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位学生选修4门，则共有多少种不同选修方案？（2）某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有多少种？75463613CCC1424223412CCCC141264446CCC二、多面手问题例2.现有8名青年，其中有5名胜任英语翻译工作，有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？练习：在10个学生中，有3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人能唱会舞，现要挑选3名会唱歌的组成歌咏组，同时挑选3名会跳舞的组成舞蹈组，若每个学生只能参加一组，总共有多少种不同的选法？675三、等分组与不等分组问题例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；（6）分给5个人，每人至少一本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。练习：(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?解:(1)(2)641111062123150CCCC62221064218900CCCC四、分类组合,隔板处理例4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法”得:5294095C思考：把个30相同球放入6个不同盒子(盒子能空的)，有几种放法?练习：（1）将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？的自然数解的组数。求100wzyx)2(353747CC1768513103C五、混合问题，先“组”后“排”例5对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有几种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能。576441634ACC练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:312353431080CCCA2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）223364540CCA解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.5401)()(24122613CCCC课堂练习：2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为。32328778.()()ACCCC32328778.()()BCCCC32328778.CCCCC3218711.DCCC3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（）4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）2353.ACA3353.2BCA35.CA233535.2DCAA1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有种。99CD5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）（1）其中有多少个矩形？（2）其中有多少个正方形？课堂练习：