动点产生的等腰-相似-直角三角形(有答案)

1中国领先的中小学教育品牌精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型C等腰三角形分类综合讨论C动点产生的直角三角形C动点产生的相似三角形星级★★★★★★★★★★★★★★★教学目标见各模块具体教学目标授课日期及时段2013年04月14日10：10——12：10教学内容等腰三角形分类讨论综合1.理解等腰三角形的性质和判定定理；2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。。例1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF=90°．（1）求DE︰DF的值；（2）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由。（★★★★★）例1题图BCDEFAAA2中国领先的中小学教育品牌【满分解答】：（1）∵∠BAC=90°∴∠B+∠C＝90°，∵AD是BC边上的高∴∠DAC+∠C=90°∴∠B=∠DAC又∵∠EDF=90°∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°∴∠BDE=∠ADF∴△BED∽△AFD∴DEBDDFAD∵3cot4BDABBADAC∴DE︰DF=34（2）若△EFG为等腰三角形，根据点G的不同位置分两大类讨论：（图1）①当点G在射线AB上时，如图1。因为90FEGCABAFE＞所以FEG为钝角，则△EFG为等腰三角形时，EGEF∵EGEF，EDDF∴D为GF中点则，在直角AGF中，2425GFAD，又∵=GEFGC∴cos=cosGC，则45DGAGACEGGFBC可求得96,325AGEG。所以：5425BE另解：由△EFG为等腰三角形可得AEDGBD≌，所以BDDE，再过点D作BE垂线，利用三角比可求得5425BE。②当点G在射线BA上时，如图2。因为90FEGCABAEF＞所以EFG为钝角，则△EFG为等腰三角形时，FGEF∵FGEF，AFAE∴A为EG中点∴=AEGG又∵=BFED∴=BDEAEFADF∴ADFGGBACDFE3∴125AEAGAD所以：35BE。综上可得，当△EFG为等腰三角形时，5425BE或35BE。例2.如图，在ABC中，6,5BCACAB，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持BCDE∥，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG，当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长。（★★★★★）【满分解答】：过点A作AQBC，垂足为点Q。∵6,5BCACAB，则34BQAQ、，4cos5QAB；设ADx，则5BDx，65DEDGx。当BDG是等腰三角形时，根据点G的位置，分以下情况讨论：（1）当点G在ABC内部时：因为90DGB＞，所以该情况下只可能DGBG。但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点G作GHAB）。（如图1）则：HDGQAB，所以coscosHDGQAB，即542655xx，解得：12573x；（2）当点G在ABC外面时：分以下情况讨论①当DBDG时：则655xx，解得：2511x；②当DBDG时：（如图2）设BC与DG交点为M，则可得：BMDG且点M为DG中点，所以：coscosHDGQAB，即：34555xx，解得：207x；③当DGBG，不成立。综合上可得：当BDG是等腰三角形时720,1125,73125AD。4中国领先的中小学教育品牌（图1）1.已知在梯形ABCD中，DCAB//，PDAD2，PBPC2，PCDADP，4PCPD，如图1。（本题满分14分）（★★★★★）（1）求证：BCPD//；（2）若点Q在线段PB上运动，与点P不重合，联结CQ并延长交DP的延长线于点O，如图2，设xPQ，yDO，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）若点M在线段PA上运动，与点P不重合，联结CM交DP于点N，当△PNM是等腰三角形时，求PM的值．【满分解答】：（1）证明：∵DCAB//∴PCDCPB………………1分∵PCDADP∴CPBADP………………1分∵PDAD2，PBPC2∴PCADPBPD………………1分∴△ADP∽△CPB………1分∴BAPD∴BCPD//…………………1分（2）解：∵DCAB//，BCPD//∴四边形PBCD是平行四边形∴BCPDQHFGEABCDAPDCB图1APDCB图2QO5中国领先的中小学教育品牌∵4PCPD∴4BC……………………1分∵PBPC2∴2PB∵BCOD//∴QBPQBCPO………………………1分∵xPQ，yDO∴4yPO，xQB2∴xxy244……………………1分∴xy28…………………………1分定义域是：20x………………1分（3）解：①当PNPM时，∵DCPM//∴PNDNPMDC∴DNDC由（2）知：4PD，2DC∴2DNPDPNPM………………2分②当MNMP时，∵△ADP∽△CPB，4BCPC易得：82PDADAP易证：ADMN//即：四边形AMCD是平行四边形∴2AMDC∴6AMAPPM…………………………2分（注：当NPNM时不存在）6理解直角三角形的性质；7.能用直角三角形的性质解决相关问题；8.培养学生分类讨论的思想，并体验动态思维过程；9.培养学生分析问题、解决问题的能力。练习1.在ABC中，5ACAB，8BC，点P、Q分别在边CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持ABCAPQ。（1）若xBP，yCQ，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当CPQ为直角三角形时，求点P、B之间的距离。【满分解答】：（1）∵BAPBCPQAPQ，ABCAPQ，∴CQPBAP.APDCBMNAPDCBMN7中国领先的中小学教育品牌又∵ACAB，∴CB.∴QCP∽ABP.∴ABCPBPCQ.∵xBP，8BC，∴xBPBCCP8，又∵yCQ，5AB，∴58xxy，即xxy58512.故所求的函数关系式为xxy58512，)80(x.（2）①当90CQP时：如图1，∴90QAPAPQAPQC，∴90QAPC，则APBC∴点P为BC中点，则4BP②当90CPQ时：如图2，∵BCAPQ∴90BAPCPQ∴4cos5ABBBP，解的254BP③当90C时，不成立。综上可得，当CPQ为直角三角形时，4BP或254BP。（图1）（图2）【备注】：本部分总结解题方法和策略，师生共同总结，大概5分钟左右。动点产生的直接三角形问题的解题方法和策略：1.寻找题目中的已知量；2.观察能否利用“特殊点”、“交点”求解；3如不能，则利用勾股定理解答；8注意：分类讨论，部分题目利用好锐角三角比。1.已知△ABC为等边三角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上。（满分10分，3分+7分）（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域；（2）△GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由。（★★★★★）【满分解答】：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60º，AB=BC=AC=6.∵DP⊥AB，BP=x，∴BD=2x................................................1分又∵四边形DEFG是正方形，∴EF⊥BC，EF=DE=y，∴.∴，............................1分∴................................................1分（≤3）（定义域写错扣0.5分）（2）△GDP能成为直角三角形.①∠PGD=90º时，则点PGF、、共线，所以APPF；，................................1分，................................1分得到：.................................1分yEC336332yyx339)33(xy633xyyx36)13(6x]339)33[(x113630x9中国领先的中小学教育品牌②∠GPD=90º时，点G在AB边上，则点AGPB、、、共线，所以6AGPGBG所以：，................................1分，................................1分得到：。................................1分③当=90GDP时，不成立。∴当△GDP为直角三角形时，BP的长为或者.....................1分动点产生的相似三角形1.掌握相似基本图形中的相似三角形和各种比例式；2.通过观察了解因动点产生的相似三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法，掌握“动中取静，以静窥动”的解题策略；3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力；4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变；5.掌握动点产生的相似三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解。例1.如图，在Rt△ABC中，90ACB，CE是斜边AB上的中线，10AB，43tanA，点P是CE延长线上的一动点，过点P作CBPQ，交CB延长线于点Q，设EPx，BQy。（★★★★）（1）求y关于x的函数关系式及定义域；（2）过点B作ABBF交PQ于F，当BEF和QBF相似时，求x的值。yxx234234xx]339)33[(x336x113630336x10中国领先的中小学教育品牌【满分解答】（1）在Rt△ABC中，90ACB，∵4tan3BCAAC，10AB∴8,6BCAC．∵CE是斜边AB上的中线，∴152CEBEAB∴,PCBABC∵90PQCACB∴△PQC∽△ABC∴484,555CQBCyPCABx即；∴445yx，定义域为5x．（2）∵90,QACBQBFA∴△BQF∽△ABC当△BEF和△QBF相似时，可得△BEF和△ABC也相似．分两种情况：①当FEBA时，在Rt△FBE中，90FBE，5BE，53BFy∴54445353x，解得10x；②当FEBABC时，在Rt△FBE中，590,5,3FBEBEBFy∴54345354x，解得12516x11中国领先的中小学教育品牌综合①②，12516x或10．练