华南农业大学2013年6月数值分析(大三)

1装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2012-2013学年第2学期考试科目：数值分析考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六总分得分评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1、用3.142作为的近视值有___位有效数字。2、用二分法求方程310xx在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为____，进行二步后根所在区间为____。3、牛顿迭代法的收敛阶为________，双点弦截法的收敛阶为________。4、设有矩阵3221A，23x则A____，x____。5、线性方程组12123511405xxxx的高斯-赛德尔迭代格式为________，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径为________，所以迭代格式________。二、设有下面的表格函数x50556065()fx1.69901.74041.77821.8129试求3[50,50]P，并用3[50,50]P计算'(50)f的近似值。（本题共10分）得分得分1.5CM2三、给定方程(1)10xxe（1）分析方程存在几个解，并找出解的范围；（2）试将方程改写为能用迭代法求解的形式，并说明理由。（本题共15分）得分3装订线四、分别讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程AXb的收敛性，其中211111112A。（本题共16分）得分4五、已知函数的函数表如下：x0.00.20.40.6y1.000001.221401.491821.82212（1）求函数的3次拉格朗日插值多项式；（2）求函数的3次牛顿插值多项式。（本题共14分）六、采用龙贝格法计算12041Idxx的值，要求误差不超过50.510。（本题共15分）得分得分5装订线华南农业大学期末考试试卷参考答案（A卷）2012-2013学年第2学期考试科目：数值分析考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1、用3.142作为的近视值有_4__位有效数字。2、用二分法求方程310xx在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为__[0.5,1]__，进行二步后根所在区间为__[0.5,0.75]__。6、牛顿迭代法的收敛阶为___2_____，双点弦截法的收敛阶为___1(15)2__或1.618___。7、设有矩阵3221A，23x则A_5___，x_3___。8、线性方程组12123511405xxxx的高斯-赛德尔迭代格式为___(1)()12(1)(1)21(15)31()45kkkkxxxx_____，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径为____112____，所以迭代格式__收敛的______。二、设有下面的表格函数x50556065()fx1.69901.74041.77821.8129试求3[50,50]P，并用3[50,50]P计算'(50)f的近似值。（本题共10分）解：建立差商表如下：（6分）1.5CM6xy一阶差商二阶差商三阶差商551.7404601.77820.00756651.81290.00694-0.000062501.69900.00759-0.0000650.0000006503(50)P3[50,50]P3[65,50,50]P3[60,65,50,50]P3[60,65,50,50]P=-0.0000006（7分）33[65,50,50]0.000065(5060)[60,65,50,50]710.0000PP（8分）33[50,50]0.00759(5065)[65,50,50]86550.00PP（9分）所以3'(50)[50,50]0.008655fP（10分）。三、给定方程(1)10xxe（1）分析方程存在几个解，并找出解的范围；（2）试将方程改写为能用迭代法求解的形式，并说明理由。（本题共15分）解：（１）设()(1)1xfxxe，则'()xfxxe，当0x时递增，当0x时递减，又(0)20,(1)10,(2)0fff，且lim[(1)1]1xxxe所以方程有１个根，在区间[1,2]内。（５分）（２）构造迭代格式为11kxkxe，取01.5x，得*1.2785x。（10分）（３）将原方程改为1xxe，()1xxe，则'()xxe，当[1,2]x时，1|'()|1xxee，所以构造迭代公式11kxkxe该迭代方式收敛。（1５分）四、分别讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程AXb的收敛性，其中211111112A。（本题共16分）解：采用雅可比迭代法，其迭代矩阵的特征值满足7装订线31122114501122，因此有123550,,22ii，即()1A，所以雅可比迭代法不收敛。（８分）采用高斯-赛德尔迭代法迭代法，其迭代矩阵的特征值满足211102，因此有1230,0.5，即()1B，所以高斯-赛德尔迭代法收敛。（８分）五、已知函数的函数表如下：x0.00.20.40.6y1.000001.221401.491821.82212（1）求函数的3次拉格朗日插值多项式；（2）求函数的3次牛顿插值多项式。（本题共14分）解：（１）函数的3次拉格朗日插值多项式为3(0.2)(0.4)(0.6)(0.0)(0.4)(0.6)()1.000001.22140(00.2)(00.4)(00.6)(0.20.0)(0.20.4)(0.20.6)(0.0)(0.2)(0.6)(0.0)(0.2)(0.4)1.49182(0.40.0)(0.40.2)(0.40.6)(0.60.0xxxxxxPxxxxxxx1.82212)(0.60.2)(0.60.4)（７分）（２）方法一：建立差商表xy一阶差商二阶差商三阶差商0.01.000000.21.221401.10700.41.491821.35210.612750.61.822121.65150.74850.22625三次牛顿插值多项式为3()11.10700.61275(0.2)0.22625(0.2)(0.4)Nxxxxxxx（７分）8方法二：建立差分表xy一阶差分二阶差分三阶差分0.01.000000.21.221400.221400.41.491820.270420.049020.61.822120.330300.059880.01086三次牛顿插值多项式为3230.221400.049020.01086()1(0.2)(0.2)(0.4)1!0.22!0.23!0.2Nxxxxxxx（７分）六、采用龙贝格法计算12041Idxx的值，要求误差不超过50.510。（本题共15分）解：11((0)(1))32Tff（1.5分）211((0)(1)2())3.142Tfff（3分）21143.31333333TTS（4.5分）41113((0)(1)2()2()2())3.13117658424Tfffff（6分）42243.14156873TTS（7.5分）211163.142117915SSC（9分）83.1389885T（10.5分）4841(4)3.14159253STT（12分）422163.1415915SSC（13.5分）524||0.510CS所以3.14159I。（15分）9装订线